预期的硬币数量

Question

爱丽丝和鲍勃玩游戏。 鲍勃有一个良好的 $ m= 4999 $ 白色卡和 $ n= 4999 $ 绿色牌。甲板中的每张卡的每个允许都同样可能。爱丽丝为鲍勃设定了一些规则。

• 每次鲍勃翻转一张白卡，他得到一个硬币，否则他会失去一个硬币。在任何时刻（即使在开始时），鲍勃就被允许停止玩游戏并保持他所拥有的硬币数量。
• 在游戏过程中 - 扮演鲍勃可能是负面的硬币的平衡。

如果鲍勃最佳地播放，那么预期的硬币鲍勃将有什么？

可以给我一个想法或提示如何解决它。

Answer 1

让 $ w（a，b）$ 是 $ a $ 正卡的预期利润和 $ b $ 负卡。然后 $ w（0,0）= 0 $ 和 $$ w（a，b）=max \ bigl（0，\ tfrac {a} {a + b}（w（a-1，b）+ 1）+ \ tfrac {b} {a + b}（w（w（a，b-1） - 1）\ bigr）。 $$ 实际上，如果我们立即停止游戏，利润为零。否则，具有概率 $ \ tfrac {a} {a + b} $ ，我们删除了一个正卡，并且概率 $ \ tfrac {b} {a + b} $ ，我们拔出一个负牌卡。

使用这种复发，很容易计算 $ w（4999,4999）$ 。在我的笔记本电脑上，花了不到一秒钟。