是否有这样的概念是“有效可计算的减少”，或者这不会有用
https://cs.stackexchange.com/questions/121136
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29-09-2020 - |
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MOST MOST CONETING I COMENTEDINED在给出了我们难题的实例的情况下，他们对我们的难题的实例有效，通过使用缩减，他们为我们的问题提供了多项式时间算法。 经典问题通过这种方式工作。一个非常简单的例子可能从独立文件到Clique减少，刚刚建立了输入的补充图。
但是考虑着名 cook-levin theorem SAT是NP-TREACE，减少从非确定性TM和一些多项式开始，其定义存在。但对我来说，目前尚不清楚如何有效地获得这种多项式，这意味着鉴于我知道它在多项式时间内运行的非确定性TM，这是不清楚如何计算这种多项式，而且我非常可疑它是不可猜测的所有。
如此，从NP完全问题的编码由非确定性多项式时间TMS类（多项式本身未被鉴于编码），我认为如何以有效的方式减少，上述证据只是表明存在一些，但不是如何获得它。也许我已经理解了一些错误，但我的印象通常，由于它们确实可计算，即给出了给出的索引，即给出了我们可以计算我们的减少的问题，而且不仅知道它的存在。
有史以来已经注意到了吗？如果是这样，是否有这样的概念作为“有效可计算的减少”，或者将其自身可计算的减少是不切实际的？对我来说，从更实际的角度来看，我有时会看到缩短引入的方式（“就像我们有一个算法将一个实例转换为另一个实例”），非常希望知道如何获得这种算法/减少，所以实际上需要更自然地要求它，但为什么它没有完成？
解决方案
很好的问题！我认为，您对“有效可计算的减少”的概念是有趣，值得学习，但并不是标准减少的根本性。让我提供一些可能是照明的概念的一些观察结果：
观察1：谈论从一种语言到另一语言的有效可计算减少没有意义;只从一系列语言到另一个语言。
特别是，当您编写此时，您似乎混淆：MOST MOST CONETING I COMENTEDINED在给出了我们难题的实例的情况下，他们对我们的难题的实例有效，通过使用缩减，他们为我们的问题提供了多项式时间算法。 R. Karp考虑的21个经典问题的所有减少。
从说法的vertexcover到3sat是一个图灵机 $ f $ ，它将垂角的实例转换为3sat的实例。由于它是一个图灵机，因此它通过定义有效地计算。因此，您认为这种形式的所有减少都没有令人惊讶的是有效可计算。
换句话说，如果我们只看从一种语言到另一语言的减少，那么每次减少都会有效地计算！这与Cook-Levin定理的情况不同，在那里我们必须从任意NP语言到SAT显示一个缩减 $ f $ 。然后考虑这种减少是否通过NP中的语言参数化，可能有意义 - 是有效的。但这将我们带到了我的第二点：
观察2：作为有效计算的缩减的计数如何取决于语言的表示。
这很重要，因为标准缩减（多对一减少或减少）不依赖于语言所代表的方式。从 $ l $ 到 $ l'$ ，我认为 $ l $ 和 $ l'$ 是 $ \ {0,1 \的子集} ^ * $ 。但对于您有效可计算的有效概念来说，我们需要访问<跨级=“math-container”> $ l $ （我们可能没有）的表示表示表示需要 $ l'$ ）的表示。
要使这一点更清楚，请考虑减少您所提出的厨师莱文定理证明。该证据考虑语言 $ l $ ，由表示多项式非术语图定型机 $ n $ 。然后它显示 $ l $ 可将其删除为sat。您说，这种减少没有有效可计算，但这取决于如何表示 $ n $ ，即多项式非算法的定义-
定义1：多项式ntm是一个非预定的图灵机，使得存在多项式 $ p（n）$ ，使得TM总是在大多数 $ P（n）$ 。
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定义2：多项式ntm由一个非预定的图灵机组成，与多项式 $ p（n）$ 。运行的方式是，在任何分支上，它只为 $ p（n）$ 步骤执行;如果在此时间不停止，则忽略该分支。
似乎我正在制定定义2，并且定义并不自然，但实际上这两个都是两个具有它们的优点的多项式ntm的完全有效的定义。对于P，NP和NP完整性的经典理论，这些定义都是等同的。关于定义2的好处是允许NTM在某些分支上发散;你不担心，因为执行语义说，一旦运行时间走到 $ p（n）$ 。
然而，当有效可计算减少时，定义变得不平等。注意，根据定义1，当我们给出由ntm $ n $ 定义的语言时，我们不知道其运行时间是什么，所以我们可能不是能够将其减少到SAT（下面更多）。但根据定义2，NTM $ N $ 的一部分是它配有多项式，所以我们知道其运行时间。因此，如果我们使用定义2，我们可以有效地减少所有NP语言。此外，我们只考虑了非叛徒的图灵机;我们可以使用Verifie等效地定义NP
R图灵机。然后有效可计算减少的定义可能是别的！tl; dr：取决于如何表示NP中的语言，特别是根据多项式时间NTM的定义，它可能是真实的或错误的np中的每种语言有效地降低到饱满。换句话说，该组有效可计算的减少根据用于表示NP中语言的计算模型。
现在在此时，给定积分（1）和（2），一个问题仍然存在：可以减少煮熟 - 莱文定理是有效的吗？特别是假设我们修复以下定义：
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np中的语言由非明确的图灵机表示，其运行时由未知多项式 $ p $ （即定义1）。
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给定语言 $ l $ ，我们说NP类别为有效地将多时间冗余到<< SPAN Class=“math-container”> $ l $ 如果以下持有：有一个tm $ f $ ，它将作为输入 $ \ langle n，w \ rangle $ ，其中 $ n $ 是多项式ntm和 $ w $ 是 $ n $ 的任何输入，这样 $ w \ l（n）$ 如果且仅当 $ f（\ langle n，w \ rangle）\ in l $ 。此外， $ f $ 必须在多项式时间中运行（在它的输入 $ \ langle n，w \ rangle $ ）。
观察3 :(库莱文无效）NP类别没有有效地降低饱和。
让我们了解为什么这是真的。假设存在有效的减少 $ f $ 存在的矛盾。这个想法是，我们将尝试通过举例实例来解决困难（例如，双指数 - 时间）问题，将其转换为多项式NTM，并询问<跨级=“math-container”> $ f $ 将其减少到SAT。所以，让 $ l_ {hard} $ 是一些需要双指数时间才能解决的问题（这是时间层次定理存在的问题），并且让<跨度类= “数学集装箱”> $ M_ {hard} $ 是一个解决它的（确定性）TM。给定任何实例 $ w $ 问题的问题，定义以下NTM $ N_W $ ： \ begin {align *} n_w：= ＆\ text {“在任何输入$ a $，首先运行} m_ {hard} \\ ＆\ text {输入} w \ text {。当它停止时，接受if} \\ ＆\ text {它接受并拒绝如果它拒绝。“} \结束{align *}
现在我们可以使用它来解决 $ l_ {hard} $ 在指数时间（不是双指数），如下所示。在输入 $ w $ 时，我们首先构造 $ n_w $ ，其大小仅是< SPAN Class=“math-container”> $ w $ 。然后我们通过 $ \ langle n_w，\ epsilon \ rangle $ （第二个参数， $ \ epsilon $ ，只是一个占位符以下）到 $ f $ 将其减少到sat。 $ f $ 向我们提供饱和的SAT实例，该实例在 $ n_w $ ，和 $ f $ 只需要多项式时间来运行。因此，我们最终在 $ w $ 中的多项式大小的一个例子;现在，我们在<跨度类=“Math-Container”> $ W $ 中的指数时间中解决了它，使用Brute-Force Search。
这一点（3）似乎表明，大多数情况下，没有有趣的类别的语言将在这种有效的可计算意义上可将其降低到单个语言。这将是太难的，因为您可以利用这种可计算性来通过将它们作为TM输入的一部分进行编码来解决硬问题，以便输入到有效减少的TM输入。然而，这里有点腥味，因为如果我们养活TMS $ N_W $ 进入Cook-Levin定理，我们将最终获得非常大的SAT公式， $ w $ 中的指数。因此，也许我们的定义需要进行调整，以便<跨度类=“数学容器”> $ f $ 在
-Container“> $ N_W $ ，不仅仅是输入 $ \ langle n_w，\ epsilon \ rangle $ 。观察4：如果我们允许图灵（很多到许多）减少，那么Cook-Levin可以有效。
为d.w.在评论中说：
我认为可以通过迭代加倍构建有效的烹饪还原。这有帮助吗？
我也相信这是真的。特别是，我们可以通过表示减少不只是返回
免责声明
我不是这个主题的专家。这些只是关于这个想法的一些初步说明，我不确定有人是否在文献中研究过这一点。
p.s。虽然它可能没有直接相关，但是你关于考虑有效减少的问题让我想起了我所说的一个想法，而不是考虑语言是在p个中或在np中，但它们是否被证明是如此。这个与开发具有有效或建设性的复杂性理论的想法有关。我问和后来回答了关于定义Pricining p和可怕的np语言的问题 。
