P是难以忍受的吗？

Question

我正在学习复杂性类和 np-hardensst 文章对我困惑。

np-solly具有从NP中的问题中的多项式时间中可以减少的所有问题。p包含在NP中。然后可以在NP-HARD中将P在P中的问题x减少到问题y？在场景P！= NP中，这不会加入我。

我在这里遗漏了什么？p是含有np-hard的吗？

Answer 1

np-hard具有从np到它们的多项式时间中可以减少的所有问题。

不完全：np-suld包含每个 np问题的所有问题。

假设 $ x \ in \ mathsf {p} $ 。如果 $ \ mathsf {p} \ not=mathsf {np} $ ，则 $ sat $ （例如） not 可将 $ x $ reducibe。所以 $ x $ 不是 $ \ mathsf {np} $ -hard：<跨越类=“math-container”> $ \ mathsf {np} $ ，不缩减为 $ x $ 。

注意：一些问题 $ \ mathsf {np} $ 减少的问题是......所有问题都在解决！这是因为（按照您观察）丢弃“边缘案例” $ \ imptyset $ 和 $ \ mathbb {n $ ， $ \ mathsf {p} $ 也是 $ \ mathsf {np}中的每个问题$ ，以及 $ \ mathsf {p} $ 的问题是微不足道的 $ ^ 1 $ 到一切。

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$ ^ 1 $ 相对于多项式 - 时间多种还原性。更改可还原性，您可能会改变情况。例如。 $ \ mathsf {p} $ $ \ mathsf {np} $ - 以及关于幂级时间的幂次数，从而获得了许多一次的还原性，因为在这个还原性中， $ \ mathsf {np} $ 中的所有问题是微不足道的。

• “多个”位是为什么 $ \ imptyset $ 和 $ \ mathbb {n} $ 是有问题的：没有nonempty集是许多-1 reducibe到 $ \ imptyset $ ，并且只不过是 $ \ mathbb {n} $ 是许多-1 reducibe到 $ \ mathbb {n} $ 。这种烦恼与更复杂的冻结不足之类的烦恼，如（变体）图灵还原性：字面上的每个问题 $ \ mathsf {p} $ 都可以将其还原到多项式的所有内容 - Dime T度还原性。

在复杂性理论中，默认的还原性概念是多项式时间多种还原性。所以，如果我们只是说“ $ \ mathsf {np} $ -hard”我们的意思是关于该还原性 - 在这种情况下“有一个 $ \ mathsf {np} $ -hard问题 $ \ mathsf {p} $ ”等同于 $ \ mathsf {p= np} $ 。

Answer 2

让 $ h $ 是 $ \ textsf {np} $ -hard问题的集合，也就是说，问题 $ a $ ，使得每个问题 $ b \ Textsf {np} $ 可以通过KARP减少减少到 $ a $ 。

然后 $ \ textsf {p} \ nsubseteq h $ 。考虑问题 $ a $ 与语言 $ \ imptyset $ ，让 $ B $ 是与语言相关的问题 $ \ {0,1 \} ^ * $ 。 显然 $ a \ in \ textsf {p} $ 和 $ b \ in \ textsf {p} \ subseteq \ textsf { $ ，但 $ b $ 不能减少到 $ a $ 通过KARP减少。这表明 $ a \ not \ in h $ ，因此 $ \ textsf {p} \ setminus h \ neq \ amptyset $ 。

请注意，无论 $ \ textsf {p}=textsf {np} $ 。