在用物品和食谱中检测在制作游戏中的保护，损失或获得

Question

假设我们正在设计像 minecraft 的游戏，我们有大量的项目 $ i_1，i_2，i_n \ In i $ < / span>和一堆食谱 $ r_1，r_2，...，r_m \在r $ 。食谱是 $ r :( i \ times \ mathbb {n}）^ n \ lightarrow i \ times \ mathbb {n} $ ，这是他们拿一些项目具有非负整数权重，并生成另一个项目的整数数量。

例如，在 minecraft 中的蛋糕配方是：

3牛奶+ 3小麦+ 2糖+ 1鸡蛋<跨越类=“数学集装箱”> $ \ lightarrow $ 1克莱克

......以及火炬的配方是：

1棒+ 1煤层<跨度类=“数学集装箱”> $ \ lightarrow $ 4火炬

一些食谱甚至可以是可逆的，例如： 9钻石<跨度级=“数学集装箱”> $ \ Leftrightarrow $ 1钻石块

如果有一些食谱组合，我们可以反复使用，以便获得我们开始的更多项目，然后游戏均衡差，这可以由玩家利用。 我们更希望我们使用食谱设计游戏，这些食谱可以保护物品或可能丢失一些物品（现实世界中的热力学熵 - 你不能轻易造成烤面包）。

是否有一种有效的算法，可以决定是否有一组配方将：

• 保存物品？
• 丢失物品效率低下？
• 获得物品？

是否有一种有效的算法，可以找到问题的食谱，如果游戏是不平衡的？

我的第一个想法是这里有一个图形结构/最大流量问题，但它非常复杂，并且它类似于背包问题。或者也许它可以被制定为SAT问题 - 这就是我现在正在考虑到它的代码，但更有效的东西可能存在。

我们可以编码矩阵 $ \ mathbf {r} ^ {m \ time n} $ 其中，其中行对应于配方和列对应于项目。如果物品由食谱消耗，则列条目是否定的，如果它由配方产生的阳性，并且如果未使用，则为零。类似于众所周知的图形循环检测矩阵方法，我们可以将 $ \ mathbf {r} $ 升级为一些高功率并获取每行的总和以查看项目总计继续上升，保持平衡或走消极。但是，我并不相信这总是有效。

任何讨论，代码或推荐的读数都非常欣赏。

Answer 1

这应该是用线性编程可解决。

背景和设置

让状态矢量是您拥有的每个项目数量的矢量。如果可能的物品是牛奶，小麦，糖，鸡蛋，蛋糕，钻石，那么规则

3牛奶+ 3小麦+ 2糖+ 1鸡蛋<跨越类=“数学集装箱”> $ \ lightarrow $ 1克莱克

通过添加 $（ - 3，-3，-2，-1,1,0）$ 来影响状态向量。所以，让 $ a_i $ 表示 $ i $ th规则的更改向量。

获得项目

我声称存在一种方法来获得没有绑定IFF的物品的物品，存在线性程序的可行解决方案

$$ a_1 x_1 + \ dots + a_n x_n \ ge（0,0，\ dots，0），x_1 \ ge 0，\ dots，x_n \ ge 0 $$

使得<跨度类=“math-container”> $ a_1 x_1 + \ dots + a_n x_n>（0,0，\ dots，0）$ 。这里 $ \ ge $ 在向量上定义在向量上（即 $ u \ ge v $ iff $ u_i \ ge v_i $ 保存所有 $ i $ ），类似于 $> $ 。这可以表示为线性程序：最大化 $ a_1 x_1 + \ dots + a_n x_n $ 的坐标的总和，受上述不平等。因此，您可以使用线性编程求解器在多项式时间中解决。这告诉了你是否有一种没有绑定的物品的方法。

为什么索赔是真的？嗯，如果有一个可行的线性程序的解决方案，那么它提供了一种在没有绑定的情况下延长一些项目的数量。特别是，如果您从每个项目中开始，则应用规则1 $ x_1 $ times，规则2 $ x_2 $ times等，您将最终与您开始的新状态矢量 $ a_1 x_1 + \ dots + a_n x_n $ < /跨度>至少在每个组件中至少大并且至少一个组件中的严格更大。此外，如果您从足够大量的项目开始，您将永远不会在任何中间应用规则的中间步骤中的“消极”。注意如果存在该线性程序的解决方案，则在理性中存在解决方案，其在整数中产生一个解决方案（乘以适当的常数，以透明分母）。

相反，如果有一种方法来增长某些项目的数量而无限制，则存在线性程序的解决方案：只是让 $ x_i $ count在该方法中应用了次数 $ i $ 的次数，并且您将看到这会对线性程序产生有效的解决方案。

丢失物品

我相信存在类似的等价：在没有绑定IFF的情况下丢失物品的方法存在可行的解决方案

$$ a_1 x_1 + \ dots + a_n x_n \ le（0,0，\ dots，0），x_1 \ ge 0，\ dots，x_n \ ge 0 $$

使<跨度类=“math-container”> $ a_1 x_1 + \ dots + a_n x_n <（0,0，\ dots，0）$ 。你应该检查我的推理，因为我没有仔细检查。

保护

最后，如果没有没有绑定或丢失物品的没有绑定的物品没有办法，那么我认为它遵循该值是节省的。

Answer 2

您的问题相当于询问来自您 $ \ mathbb r ^ {m \ times n} $ 矩阵的一些线性组合系数正面和总和到其中（a）每个元素 $ \ ge 0 $ 和（b）至少一个元素是 $> 0 $ 。

（请注意，操作的命令无关紧要：在某些顺序中运行它们可能会导致某些项目的数量达到零，但我们只能寻找低水-Mark并假设我们至少有许多项目中的许多才能开始。）

我认为这可以通过线性编程来解决：为每个系数制作一个变量，为输出向量中的每个元素添加 $ \ ge 0 $ 约束（每个元素）元素是系数变量的点乘积和来自食谱的恒定系数），对于每个系数变量，更多 $ \ ge 0 $ 约束，并设置最大化的功能所有元素的总和。为了使其界定，将系数变量的总和设置为某些常量，例如， 1. IFF解决方案值是 $> 0 $ ，您有非保护！

注意，分数值不是问题：它们必须是合理的，因此您可以始终通过所有分母乘以纯整数解决方案。