不相交的np-coll-coll问题和p问题是np-subply

Question

let $σ= {0,1 \} $ ，让 $ a，b⊆σ^ * $是语言。否则如果 $ a $ 是np-suld， $ b $ 在p中， $ a▽b=∅$ ， $ a∪b≠σ^ * $ ，然后 $ a∪b $ 在np-hard中。

如何才能证明 $ a∪b$ 鉴于条件是np-hard？任何帮助都会受到赞赏。

Answer 1

让 $ l $ 是np中的任何语言。由于 $ a $ 是np-starl，因此有一个多时间缩减 $ f $ ，使 iff $ f（x）\以$ 中的math-container> $ x \。我们希望将 $ f $ 转换为多个时间缩减 $ g $ 这样 $ x \ in l $ iff $ g（x）\在a \ cap b $ 。

是什么可以防止 $ f $ 从工作？让我们考虑三种情况：

• $ f（x）\以$ 。在这种情况下， $ f（x）\也在\ cap b $ 中。
• $ f（x）\投入$ ，也是 $ f（x）\投入b $ 。在这种情况下， $ f（x）\ ock a \ cup b $ 。
• $ f（x）\投入$ ，但是 $ f（x）\ in b $ 。在这种情况下， $ f（x）\中的\ cap b $ 。这是有问题的情况。

难度案例是 $ f（x）\中的b $ 。幸运的是，由于 $ B $ 在P中，我们可以测试这种情况是否发生。当它这样做时，我们想输出不在 $ a \ cup b $ 的东西。这是有用的（并且必要！）那个 $ a \ cup b \ neq \ sigma ^ * $ 。实际上，我们可以选择一些任意 $ z \ notin a \ cup b $ ，然后选择它作为我们的输出当 $ f时（x）\在b $ 。

这里是更新的减少视图： $$ g（x）= \ begin {案例} z＆\ text {if} f（x）\在b，\\ f（x）＆\ text {否则}。 \结束{案例} $$ 这项工作吗？让我们证明它确实如此。

如果 $ f（x）\ in b $ ，则自 $ a $ 和 $ b $ 是不相交的，我们保证 $ f（x）\ intin a $ ，SO $ X \ NOTIN L $ 。在本例中 $ g（x）= z \ z \ in ins \ cup b $ 。

如果 $ f（x）\= n $ 那么 $ g（x）= f（x）$ < / span>，而且 $ g（x）= f（x）\在a \ cap b $ iff $ f （x）\在$ iff $ x \ in l $ ，根据需要再次。

最后，请注意 $ g $ 可以在多项式时间中实现，因为 $ f $ can如此实现， $ b $ 是p。

Answer 2

给定一个实例 $ x $ $ a $ ，将其减少到实例 $ y $ $ a \ cap b $ 如下：

• 检查（在多项式时间中）如果 $ x \ in b $ ，如果答案是yes，则 $ x \ not \以$ ，因为 $ a \ cap b=imptyset $ 。选择任何 $ y \ in \ sigma ^ * \ setminus（a \ cap b）$ （由假设是非空的）。

• 如果 $ x \ not \在b $ 中，则 $ x \中的\ cap b \iff x \以$ 。选择 $ y= x $ 。