硕士定理适用于这里？

Question

让 $ t（n）：=begin {is} \ frac {2+ \ log n} {1+ \ text {log} n} t（\ lfloor \ frac {n} {2} \ rfloor）+ \ log（（n！）^ {\ log n}）＆\ text {if} n> 1 \\ 1＆\ text {if} n= 1 \结束{案例} $

我需要证明 $ t（n）\ in o（n²）$ ，因此 $ t（n ）\ leq c \ cdotn²$

我问了这个问题这里我上次得到了很大的帮助，事情是我上次显示的时候是 $ f（n）= log（n）\ cdot \ log（n！）$ 是 $ \ theta（2 \ cdot \ log（n）\ cdot n）=theta（\ log（n）\ cdot n）$ 我以为我可以然后使用主定理

但是，由于 $ a=frac {2+ \ log n} {1+ \ log n} $ 不是一个常量，我不能使用主定理 但我认为我可以使用 $ a $ 的上限，因为 $ \ frac {2+ \ log n} {1+ \ log n} <2 \ quad \ forall n $ ，然后使用master theorem for $ a= 2 $ ， $ b= 2 $ 。但是我允许在找到非常量<跨度类=“math-container”> $ a $ 的上限后使用主定理

其他方式是显示 $ t（n）= o（n ^ 2）$ ？

Answer 1

是，您可以定义 $ t'（n）= 2 t'（\ frac {n} {2}）+ \ theta（n \ log n）$ ，请注意 $ t（n）\ le t'（n）$ ，并在 $上使用master theoremt'$ 获取 $ o（n \ log ^ 2 n）$ to $t $ 。

自for $ n \ ge 2 $ ， $ \ frac {2+ \ log n} {1+log n} \ lex \ frac {3} {2} $ 通过比较 $ t $ 来获得更好的上限 $$ t'=begin {is} \ frac {3} {2} t''（\ frac {n} {2}）+ \ theta（n \ log n）＆\ text {if $ n \ ge2 $} \\ \ theta（1）＆\ text {否则} \ end {iscus}。$$ 在 $ t''$ $ o（n \ log n）$ for $ t $ 。

Answer 2

是的，您可以在上限上使用Master定理。

正式，只需将s（n）定义为具有上限的函数（对本身的递归调用）并使用s（n）上的主机定理。你知道s（n）是t（n）的绑定（如果你真的想要，你可以在归纳中证明这一点），因此如果你设法显示s（n）= o（n ² ）然后还t（n）= o（n ^{2 ）}

亲自，我从来没有解释过为什么它也可以在上限上使用主人的定理，我从未见过任何人试图在尝试之前实际解释（因为你从解释中看到的那样，原因非常简单）

我希望我设法帮助：p