没有自由变量的λ微积极与lambda chalulus一样强大？

Question

首先问题：如何通过从λ微积分中删除自由（未结合）变量来证明，仅允许绑定变量，其电源不会降低（它仍然是图灵完成）？

第二个问题：上面给出的命题真的吗？lambda conculus sans自由变量真的真实地完成吗？

Answer 1

我假设你指的是没有左右的lambda微积分。

如果是这样，写入 $ \ newcommand {\ num} [1] {\ ulcorner＃1 \ urcorner} \ num {n} $ 为教堂数字天然unmber $ n $ 。

众所周知，存在闭合项（即，没有自由变量） $ tm $ $$ tm \ \ num {i} \ num {n} \= _ {\ beta \ eta} \ \ num {m} $$ 如果，且仅当 $ i $ -th turing machine（在某些标准枚举中）使用输入 $ n \在\ mathbb n $ （按照常规编码）停止返回 $ m $ 作为输出。

事实上，写入 $ tm $ 是Lambda微积分中的标准“编程”锻炼。为此，可以将磁带代表为符号的一对或对...（AKA A FIN列表）。然后可以写入“踩踏”子程序来提前磁带和TM状态。最后，调用逐步子程序直到达到暂停状态。最后一步可以使用固定点组合器（例如 $ y $ 。

因为我们可以模拟任何图灵机，我们得到完整的完整性。

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替代证据，这是（在我看来）更容易完整的详细信息：证明任何一般递归函数都可以是 $ \ lambda $ --defined一个封闭的λ术语。为此，继续归纳一般递归函数的定义。

事实上，即使您不瞄准封闭项，在此编程练习中，您将以自然的方式获得关闭的一个。毕竟，当编程一个时，永远不需要事先未宣布的变量。

由于常规递归函数正是由图灵机计算的函数，因此我们得到了闭合λ微积分的完整性。