计算满足模型的数量 - 给定数学限制

Question

问题

求解 #sat 问题，有很多算法DPLL算法和用于各种编程语言的实施。据我所知，他们都在CNF上取得一个布尔公式作为输入，并输出满意解释的数量。

数学约束，另一方面是一个定义实例的另一种方式SAT问题并且通常用于离散优化，其中一个人试图在这些约束上优化一些功能。 是否有一个程序将数学限制为输入并输出满足解释的数量？

示例

我们代表布尔公式 $ q=（a \ lor b）\ wedge（c \ lor d）$ 作为 $$ a + b \ geq 1 \\ c + d \ geq 1 $$ 或作为矩阵 $ a $ 和支持向量< SPAN Class=“Math-Container”> $ B $ $$ A= \ begin {bmatrix} 1和1＆0＆0 \\ 0＆0和1＆1 \结束{bmatrix} \\ b=begin {bmatrix} 1＆1 \ neg {bmatrix} $$

所有变量 $ a，b，c，d \ in \ {0,1 \} $ 。我们知道有程序带有 $ q $ 作为输入，输出解释的数量，但是有程序需要 $ a $ < / span>和 $ b $ 作为输入（或类似的结构）并输出相同数量的解释？

Answer 1

我知道两个合理的方法。

方法＃1 ：计数凸多特孔内的整数点数。

您提供的线性不等式，与不平等 $ 0 \ le a，b，c，d \ le 1 $ 定义了一个凸多台。现在，你想要计算在该多晶孔中的整数点数落在该多特渗透物中。

有标准算法，您可以直接申请。如果您搜索“计算多特焦点的整数点”或“多托的晶格点”，您将找到许多研究论文。查看，例如 https：//cstheory.stackexchange.com/q/22280/5038 。

方法＃2 ：转换为cnf，然后使用#sat求解器。

您可以始终将约束转换为CNF公式。每个线性不等式都可以转换为一组CNF子句。形式的线性不等式 $ x_i + \ dots + x_j \ ge 1 $ 立即对应于cnf子句 $（x_i \ lor \ dots \ lor x_j）$ 。对于表单的更一般的线性不等式 $ x_i + \ dots + x_j \ ge c $ ，您希望表达至少 $ C $ 超出 $ k $ 变量 $ x_i，\ dots，x_j $ 是真的。有许多标准的编码方式。查看 https://cstheory.stackexchange.com/q/23771/5038 set ，编码1 SAT溶剂的N-N约束，

（一种方法是转换计算 $ x_i + \ dots + x_j $ 的布尔电路，并将其与 $ C $ ，然后使用 tseitin变换转换为cnf转换为cnf。您可以使用标准加法器和比较器电路创建这样的布尔电路。但是，还有许多其他方式。）

一旦您具有相当于该组约束的CNF公式，那么您可以使用任何非货架#sat求解器来将解决方案的数量计数为CNF公式。

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很难说这两种方法中的哪一种更好;您可能需要在您处理的情况下尝试它们，以确定。我期待如果您具有表单的线性不等式 $ x_i + \ dots + x_j \ ge $ 其中 $ C $ 很大，然后接近＃1可能是优越的;但是，如果 $ c $ 通常很小，则接近＃2可能是优越的。

Answer 2

您可以直接使用约束而不是子句使用DPLL。这需要修改数据结构和传播算法，但它可以所有相同的工作。

一旦设置约束的所有变量，除了一个之外，可能发生单位传播。

一旦设置约束的所有变量，可能会发生冲突。

算法的其余部分保持不变。

对布尔变量的约束只是隐藏的CNF子句的集合（潜在的是许多根据约束的条款）。

Answer 3

这个问题已经是回答.Stackexchange用于混合整数编程软件，具有现有软件和脚本的示例（CPLEX，SCIP，...）。

这与CDCL算法比DPLL更类似于DPLL：当找到新的解决方案时，添加了一个新的约束以禁止它，并且搜索恢复，直到问题变得不可行。