动态规划 - 窃贼变异问题

Question

我遇到了一个动态的编程问题，这是小偷的一个变体。

说你是一个小偷，你是一排的房子，你应该罗布：

$$ house_1，house_2 \ dots house_n $$

与每个房屋有以下值： $$（x_i \ geqy_i \ geq z_i \ gt0）$$

你的利润 x 如果你抢劫房子但没有相邻的房屋。

你的利润 y 如果你抢劫房子和恰好是相邻的房屋。

你的利润 z 如果你抢劫房屋和两个相邻的房屋。

房屋A-B-C的案例是：

$$利润（001）= 0 + 0 + C_X $$ $$利润（101）= A_X + 0 + C_X $$ $$利润（110）= a_y + b_y + 0 $$ $$ profit（111）= a_y + b_z + c_y $$

1代表抢劫房屋，0用于抢劫房屋

显然，您无法利用第一个和最后一个房屋的 z 值，并且每组值都是随机的。

现在问题是：你应该抢劫哪个房子以获得最大利润？

我的主要问题是我无法为这个问题建立基本情况。

起初我想创建一个 n * m阵列，m是我可以从0-n的最大房子的最大房屋，当每个房子都没有抢劫并思考：抢劫它 - 唐't rob et但没有什么。

任何尖端或方向将得到理解。

提前感谢。

Answer 1

对于 $ i= 1，\ dots，n $ ，以及 $ r \ in \ {s，r， B \} $ define $ opt [i，r] $ as 通过抢劫第一个 $ i $ 的合适子集可以获得的最大利润，其中包含以下约束：

• 如果 $ x= s $ （如 s kip）那么house $ i $ 不得抢劫。
• 如果 $ x= r $ 然后house $ i $ 必须是 r house $ i + 1 $ 将不会被抢劫（以避免案例区分，我们假装House $即使 $ i= n $ ），也存在+ 1 $ 即使是存在。
• 如果 $ x= b $ 那么 b 其他房子 $ i $ 和房子 $ i + 1 $ 需要被抢夺。

对于 $ i= 1 $ 您有 $ opt [1，s]= 0 $ ， $ opt [1，r]= x_1 $ ， $ opt [1，b]= y_1 $ 。

对于 $ i> 1 $ 您有： $$ opt [i，s]=max \ {opt [i-1，s]，opt [i-1，r] \}， $$ $$ 选择[i，r]=max \ {x_i + opt [i-1，s]，y_i + opt [i-1，b] \}， $$ $$ opt [i，b]=max \ {y_i + opt [i-1，s]，z_i + opt [i-1，b] \}。 $$

最佳利润是： $ \ max \ {opt [n，s]，opt [n，r] \} $ ，可以在中计算$ O（n）$ 使用上述公式总体时间。