突厥突然存在于康德隆普布地区的不可逃号的证据

Question

我正在阅读在可计算数字和entscheidungsprobles上的。第9节这一部分，第二部分，我不能完全理解。他说：

< / a>

它非常直接，直到他介绍 $ \ mathfrak {u} $ 。所以<跨越类=“math-container”> $ \ mathfrak {u} $ ，他说，包括Peano公理;但它还包括什么？我猜它包括 $ g（x）$ 的原理，因为只将 $ \ mathfrak {u}。 $ 能够“定义”序列 $ \ alpha $ 由 $ g（x ）$ 。我在通常的意义上抓住“定义”这个词，但是图灵解释了他的意思是“ $ \ mathfrak {u} $ 定义 $ \ alpha $ ”AS：

的公式U的意味着什么

所以对于 $ \ mathfrak {u} $ 来定义 $ \ alpha $ ， $ - \ mathfrak {u} $ 必须 not 可提供吗？我不确定为什么需要这件事吗？因为通过限制 $ - \ mathfrak {u} $ 必须不可提供我们说 $ \ mathfrak {u} $ 必须不可反驳，这意味着序列 $ \ alpha $ 不能全部0'（或者我认为）。但为什么我们想要 $ \ alpha $ 不是全部0的？

我也对这两个公式混淆（ $ a_n $ 和 $ b_n $ ）他有写在上面。我不确定为什么如果已经包括 $ f ^ {（n）} $ 部分。如果 $ x $ 满足peano公理和 $ g（x）$ ，则 $ u $ 印记所有这些公理是 true ，如果 $ x $ 不满足这些公理然后 $ \ mathfrak {u} $ 显然是 false 。所以，只要基于 $ \ mathfrak {u} $ 我们可以告诉span class=“math-container”> $ a_n $ <强>真实或 $ b_n $ 。那么 $ f ^ {（n）} $ 这里的点是什么意思？我认为以下界面的含义几乎与图灵有什么相同的东西？

抱歉，如果我俯瞰这里的东西。

编辑1：

这里是脚注：

Answer 1

通道进入现代语言的音译将如下。

我们将一阶PEANO算术语言与一条机成谓词 $ g $ （也没有用于 $的公理组件g $ ）。 对于一个数字 $ n \ in \ mathbb {n} $ ，let $ \ overline {n} $ 是数字 $$ \ underbrace {s（s（\ cdots s} _ {n}（0）））$$ 其中 $ s $ 是继承符号。例如， $ \ overline {3}= s（s（s（0））$ 。

考虑公式 $ \ mathfrak {u}（x）$ 以这种语言编写，其唯一的可用变量是 $ x $ 这样，对于每个 $ n \ in \ mathbb {n} $ ：

1. peano公理证明 $ \ mathfrak {u}（\ overline {n}）\ lightarrow g（\ ovline {n}）$ ，或
2. peano公理证明 $ \ mathfrak {u}（\ overline {n}）\ lightarrow \ lnot g（\ overline {n}）$ 。
3. Peano公理DO NOT PROVOVE $ \ LNOT \ MATHFRAK {U}（\ overline {n}）$ 。

定义 $ \ alpha：\ mathbb {n} \ to \ {0,1 \} $ by $$ \ alpha（n）= \ begin {案例} 1＆\ text {如果peano公理证明$ \ mathfrak {u}（\ overline {n}）\ lightarrow g（\ overline {n}）$}，\\ 0＆\ text {如果peano公理证明$ \ mathfrak {u}（\ overline {n}）\ lightarrow \ lnot g（\ overline {n}）$。} \结束{案例} $$ 我们说 $ \ mathfrak {u} $ 定义序列 $ \ alpha $ 。

直观地，我们认为 $ g（x）$ 作为陈述“ $ x $ - $ \ alpha $ 是 $ 1 $ “，以及 $ \ lnot g（x）$ 陈述” $ x $ $ \ alpha $ $ 0 $ “。

$ \ mathfrak {u} $ 确保 $ \ mathfrak {u} $ < / span>始终分配 $ \ alpha（n）$ 值 $ 0 $ 或值 $ 1 $ 。

第三个条件可确保 $ \ mathfrak {u} $ 从不分配 $ 0 $ 和 $ 1 $ to $ \ alpha（n）$ （因为它遵循 $ \ lnot \ mathfrak {u}（\ overline {n}）$ 是equiprocable with $ g（ \ overline {n}）\ land \ lnot g（\ overline {n}）$ ）。

示例：公式 $ g（x）$ 定义序列 $ 1,11 ，1,1，1，\ ldots $ 。

示例：公式 $ g（s（x））$ 未定义序列，因为 $ g（s（0）））$ 不暗示 $ g（0）$ ，它并不意味着 $ \ lnot g（0）$ 。 （请记住 $ g $ 是一个原始符号，并且我们没有关于它的公理。）

示例：公式 $ g（0）\ land \ forall x \，。\，\ lnot g（s（x））$ < / span>定义序列 $ 1,0,0,0,0，\ ldots $

示例：公式 $ x \ neq 0 \ land \ lightarrow g（x）$ 未定义序列，因为peano公理验证 $ \ lnot（0 \ neq 0 \ land g（0）$ ，因此违反了第三个条件。如果我们尝试使用此公式来定义序列，它会分配 $ 0 $ 和 $ 1 $ to $ \ alpha （0）$ （它会将 $ 1 $ 分配给 $ \ alpha $ ）。

示例：公式 $ g（0）\ land \ lnot g（s（0））\ land \ forall x。 g（s（x）））$ 定义序列 $ 1,0,1，1,1，1，\ ldots $

示例：公式 $$（（\存在y。x= 2 \ cdot y）\ lightarrow g（x））\土地 （（\存在y。x= s（2 \ cdot y））\ lightarrow \ lnot g（x）） $$ 定义序列 $ 0,1,0,1，0,1，\ ldots $