与Armatrary $ K $的距离为最近的邻居最近的邻居

Question

问题。给定 $ x $ 基数的有限度量空间 $ n $ < / span>，在子例时构造数据结构，使得查询生成的时间可以在Sublinear时间（独立于 $ k $ ）来解析任意 $ k \ leq n $ 和 $ x \ in x $ 。

我尝试了什么。我知道kdtrees，球树和覆盖树木的存在。在一些假设（我愿意制作）下，我知道这些结构可以在ublinear时间（通常是 $ o（\ log（n））$ ），但我没有找到类似的结果的 $ k $ th最近的邻居 $ K $ 。

似乎通常，一个人对 $ k $ 值感兴趣，与 $ n $ < / span>，并且，在这些情况下，前一段中提到的算法可以以 $ k $ 的顺序的乘法常数的成本调整。我的问题是我对 $ k $ 值感兴趣，这些值可能是 $ n $ 的顺序。

Answer 1

一般是指标，你不能。例如，可以证明它需要至少二次时间来应答 $ \ theta（n）$ 查询，在最坏的情况下。

例如，假设我们有 $ n / 2 $ 查询点，这些点彼此非常远，而 $ n / 2 $ 目标点。我们会询问 $ n / 4 $ -th每个查询点的最近邻居。然后每个 $ d（q，t）$ 可以设置为 $ [1/2,1] $的任何距离对于每个 $ n ^ 2/4 $ 对的查询点 $ q $ 和一个目标点 $ t $ ，并且每个可以独立选择，并且您将具有有效的度量标准。因此，您可以想象由 $ n / 2 \ times n / 2 $ 矩阵的距离 $ d（ q，t）$ 。在 $ o（n ^ 2）$ 时间时，您只能读取 $ o（n ^ 2）$ 该矩阵中的条目，这不足以回答所有查询。您可以通过普发内参数证明这一点：考虑任何 $ q $ ，其中算法读取 $ d（q，t） $ 少于 $ n / 4 $ $ t $ 的不同值;然后，无论算法输出如何作为 $ n / 4 $ -th最近邻到 $ q $ ，我们可以排列其他未读的距离，以便算法的输出不正确。