$ k $に効率的に$ k $ th $ K $ Th $ K $

Question

問題与えられた $ x $ Cardinalityの有限のメトリック空間 $ n $ < / SPAN>、任意の $ k \ leq n $ と $ x \ x x \ x x 。

私が試したこと。私はKDTree、ボールツリー、カバーツリーの存在を知っています。いくつかの仮定（私が作っても構わないと思っています）の下で、私はこれらの構造がsublinear timeでquery distance to the nearest neighbor of xを解決できることを知っています（ $ o（\ log（n））$ ）しかし、 $ k $ の類似隣の任意の $についても同様の結果を見つけることができませんでした。 k $ 。

$ k $ の値に関心があるようです $ n $ < / SPAN>、およびそれらの場合では、前の段落で言及されているアルゴリズムは、 $ k $ の順序の乗法定数のコストで適応させることができます。私の問題は、 $ k $ の値に関心があるということです $ n $ 。

Answer 1

一般的なメトリックの場合はできません。たとえば、最悪の場合、 $ \ theta（n）$ クエリに回答することが少なくとも2次時間がかかることを証明できます。

例えば、 $ n / 2 $ queryポイント、を持っているとします。 $ N / 2 $ ターゲットポイント。 $ n / 4 $ -thごとに尋ねられます。次に、各 $ d（q、t）$ は $ [1/2,1] $の任意の距離に設定できます。 $ n ^ 2/4 $ のペアのペア $ q $ そしてターゲットポイント $ t $ 、それぞれ独立して選択でき、有効なメトリックがあります。したがって、 $ n / 2 \ quime>距離 $ dの行列によって指定されている距離を想像できます。 q、t）$ 。 $ o（n ^ 2）$ 時刻で、 $ o（n ^ 2）$ その行列のエントリのうち、すべてのクエリに答えるのに十分ではありません。 Adversarialの引数でこれを証明できます。 $ q $ を検討してください。ここで、アルゴリズムが読み取られた $ d（q、t） $ n / 4 $ $ t $ のさまざまな値。それから、アルゴリズムが $ n / 4 $ $ q $ に出力されるものは何でも、アルゴリズムの出力が正しくないように他の未読距離を配置することができます。