您如何在出现N / K次的大小阵列中发现所有整数？

Question

我试图找到这个问题的解决方案： 如何在尺寸的排序阵列中找到所有整数，它在更少中出现n / k次数而不是o（klogn）时间？

我只能找到这个问题，其中提供了O（klogn）解决方案。

Answer 1

让我们从案例 $ k= 2 $ 开始，并假设算法是基于比较的。

我声称，任何发现均匀元素的算法出现 $ n / 2 $ times必须知道索引 $我$ 这样 $ a [i + 1]= a [i + n / 2] $ 。实际上，假设这不是这种情况，让我们假设 $ a $ 的条目是实数。让我们说该算法已知以下值： $$ [i_1]=cdots= a [j_1] 它与算法的知识一致，即<跨度类=“math-container”> $ a [i_1-1] 等，并且稍微我们可以安排出现没有元素 $ n / 2 $ 时间。

现在考虑 $ n / 2 + 1 $ 阵列以下表单：有一个 $ n / 2 $ 许多 $ 0 $ s从某个位置开始 $ j \ in \ {1，\ ldots， N / 2 + 1 \} $ ，其余元素是唯一的。在每个这样的阵列中，上面提到的索引 $ i $ 中有一个独特的选择。因此，表示算法的决策树至少具有 $ n / 2 + 1 $ 叶子，因此它必须具有深度 $ \ omega（\ log n）$ 。

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在一般情况下，算法应该知道索引 $ i $ ，使得 $ a [i + 1]对于输出的每个元素，= [i + n / k] $ 。我们可以将阵列分区为 $ k / 2 $ 尺寸 $ 2n / k $ ，并考虑 $（n / k + 1）^ k $ 如以前，其中 $ r $ th元素出现 $ n / k $ 时间是 $ r $ th部分。这给出了 $ \ oomega（k \ log（n / k））$ 的下限，匹配您的上限为几乎所有值 $ k $ 。

（可能会单杠改善算法以提供匹配的上限。）