SAT需要多少个条款在CNF公式中是NP - 硬？

Question

与 $ n $ 变量和常数数量可以在多项式时间中解决CNF公式并不难。可以在多项式时间中解决恒定数量的条款。另一方面，与 $ n $ 变量和 $ o（n）是不难的cnf公式$ 条款足以满足NP - 硬度（考虑与3可色度的自然公式相关的SAT的实例应用于平面图）。

我们可以正式将此定义为 $ \ text {cnfsat} -f- \ text {clauses} $ ，由函数 $ f $ ，其中实例是cnf中的公式，使得如果它们具有 $ n $ 变量，则它们具有大多数 $ f（n）$ 条文。基于此，我想知道的是什么是最小的函数 $ g $ ，使我们知道存在 $ f \ o在o（g）$ 这样 $ \ text {cnfsat} -f- \ text {clauses} $ 已经是np-hard。我们知道g= 1（常量数量的子句）不起作用，而 $ g= n $ （线性数量的条款）工作。

$ g= log n $ ？是否有一个简单的CNFSAT过公式，具有 $ o（\ lg \ lg n）$ 条文？

Answer 1

下限。对于 $ g \ le c \ cdot \ sqrt {\ log n} $ 存在多项式时间算法。这个想法是以下内容：如果某些条款有太多变量，那么它应该微不足道地选择一些变量来满足此子句，而不会损伤几个变量的子句。我们重复以下内容：

查找具有最小变量数量的子句。让 $ x_1，\ ldots，x_k $ 是参与此子句的变量。

• 如果 $ k> g $ ，则整个公式是满意的（我们一个接一个地处理条款，然后选择我们之前未选择的变量）。
• 否则，我们删除条款。我们还删除 $ x_1，\ ldots，x_k $ 从所有其他条款中删除。

现在，我们必须满足删除的条款。由于最多有 $ G $ 条款，并且它们中的每一个都以大多数 $ g $ 新变量，这意味着最多 $ g ^ 2= c ^ 2 \ cdot \ log n $ 变量整体。因此，有大多数<跨度类=“math-container”> $ n ^ {c ^ 2} $ 变量组合，我们只能使用蛮力。

条件上限。在以下意义上几乎紧张。 假设在sat中的下限与 $ n $ 变量和 $ \ ge c \ Cdot n $ 条文（对于某些 $ c $ ，例如来自 $ 3 $ -Coloring ） $ \ alpha ^ n $ （ $ \ alpha \ In（1,2] $ ）。请注意，我们的转换后相同的下限保留（因为我们可以在任何算法之前应用它）。因此，如果至少有 $ \ log ^ {1+ \ epsilon} n $ 条文，它们可以拥有 $ \ frac {\ log ^ {1+ \ epsilon} n} c $ 变量以及运行时间的下限我们的问题是

$$ \ alpha ^ {\ frac {\ log ^ {1+ \ epsilon} n} c}}}}}}= n ^ {\ frac {\ log ^ \ epsilon n \ cdot \ log \ alpha} {c}}，$$

是超多项式。