单子只是内函子范畴中的幺半群，有什么启示呢？

Question

请原谅“游戏”这个词。我有点困惑 含义 主张的内容以及因此产生的问题。

背景： 我涉足范畴论以了解各种理论基础 分类结构 以及它们与函数式编程（FP）的相关性。（在我看来）Cat 和 FP 交叉点上的“至高无上的宝石”之一就是这样的声明：

A monad is just a monoid in the category of endofunctors

是什么 大不了 关于这一观察结果以及它的程序/设计含义是什么？来源如 信号传输 FP 上的许多文本似乎都暗示着 令人兴奋 我对这个概念很了解，但也许我看不到所暗示的微妙之处。

我是这样理解的：

知道某事是一个 幺半群 使我们能够推断出我们可以在一定范围内工作的事实 映射减少 设置操作的关联性允许我们以任意顺序拆分/组合计算，即 (a1+a2)+a3 == a1+(a2+a3). 。它还可以允许人们将其分布到机器上并实现高度并行化。（因此，我可以在精神上从 theoretical construct -> computer science understanding -> practical problem solving.)

对我来说是 明显的 （作为研究 Cat 的结果）看到单子有一个 幺半群 内函子范畴内的结构。然而，当我们用这样的心理模型进行编码时，我们可以从中得出什么含义，以及它对程序/设计/工程的影响是什么？

这是我的解释：

• 理论意义： 所有可计算问题的核心都是 幺半群 从某种意义上说。
  • 它是否正确？如果是这样，我可以理解 启示. 。这是理解可计算问题的概念/结构的不同视角，如果仅来自图灵/Lambda 计算模型，这些问题就不会那么明显，我可以安心。
  • 还有更多吗？
• 实际意义： 难道只是为了提供一个案例 do-编程的符号风格？也就是说，如果事物是​​幺半群的，我们就能更好地理解事物的存在 do/for 在 Haskell/Scala 中构造。是这样吗？即使我们不知道幺半群的基础，我们也不需要 调用 这 幺半群性 自绑定以来提出此声明 >>= 和 flatMap 构造被定义为关联的。那么什么给出呢？或者这更多地与 可折叠性 一元结构和 那 是间接的 启示 这是被暗示的吗？

问题）： 我在这里缺少什么？难道这只是 认出 事实上，单子是广义幺半群并且它们可以是 合并的 以任何类似于映射减少操作（如幺半群）的顺序？了解幺半群性质有什么帮助 提升 代码/设计以任何方式？展示这种差异之前/之后的一个很好的例子是什么（在了解单子/单态性之前和之后）？

Answer 1

这个答案可能并不正是您正在寻找的。也就是说，我认为这里可能过分强调了这种特征的重要性。报价单

X 中的单子只是 X 的内函子范畴中的幺半群

最初来自Mac Lane's 职业数学家的类别, ，它似乎对 monad 的定义很有帮助，乍一看，单子的定义似乎很陌生。通过将其描述为特定幺半群类别中的幺半群，读者可以获得另一种视角。请注意，有关 monad 的章节实际上位于有关 Monoidal 类别的章节之前：该评论的目的是提供帮助，而不是精确（稍后才变得精确）。

随后，詹姆斯·艾里 (James Iry) 臭名昭著的文章中对这句话进行了重新表述。 编程语言的简短、不完整且大多是错误的历史.

单子只是内函子范畴中的幺半群，有什么问题吗？

就像文章中那样，断章取义地呈现，其目的是为了娱乐。这句话后来成为函数式编程社区中的一个模因，主要是因为它很有趣，而不是函数式编程的关键见解（尽管它也确实激起了函数式程序员的好奇心，将他们带入范畴论的奇妙世界） ）。我的观点是，这种特征虽然有用且有趣，但并不像人们从其受欢迎程度中想象的那么重要。

然而，这并不是说从这个特征中无法获得洞察力。首先，让我指出，虽然带有乘法和单位的 monad 的呈现明显暗示了幺半群，但正如您所指出的，带有绑定和返回操作的 Kleisli 呈现却不是。Kleisli 演示在函数式编程中很常见，因此从这个角度来看，将幺半群刻画为更有趣。

从理论角度来看，其中一个见解确实​​是计算机科学（和数学）中的许多自然结构都是幺半群的。从单子的角度来看（特别是它们与 笛卡尔运算 和 劳维尔理论），幺半群结构对应于取代结构（相当于组合结构）。替换在计算机科学中无处不在（例如，类型理论中的避免捕获替换或树的嫁接）。Monad 只是又一个例子。

虽然正式理解所讨论的陈述可能没有启发性，但我建议理解对 monad 的不同观点是有启发性的，因为它可以让你看到 monad 的不同使用方式（例如作为容器，描述代数结构，描述多组成系统等）。如果没有看到它们出现在不同的灯光下，很难理解它们出现的频率。从这个意义上说，单子作为幺半群只是一种观点（而且可能不是最具启发性的）。

最后，虽然 monad 本身在纯函数式编程中无疑非常有用，但我不确定将 monad 视为 monoids 的观点本身是否有帮助。我认为克莱斯利的观点恰好是等价的，是这里最具启发性的观点。

总而言之，这个回应可能有点令人失望：我认为理解这种关系实际上并没有那么有帮助或启发（即用于编程）。然而，在理论上考虑单子时，与其他观点一样，这是一个值得牢记的有用观点。