播放刽子手Word游戏的最佳算法是什么？

cs.stackexchange https://cs.stackexchange.com/questions/128667

题

假设我们正在玩游戏 hangman 。我的对手和我都可以在游戏期间访问该词典。我的对手从字典中选择了一个词，了解我将用来猜测他的秘密词的算法。一旦我的对手采摘了一个词，我只给了这个词的长度。我可以猜出一封我认为将在这个词中的信，如果它在这个词中，我的对手识别了那个字中该字母的所有位置。如果我猜一封不是这个词的字母，那就是一个错误。如果我能猜出太多错误之前的这个词，我赢了。

我的对手的目标应该是选择一个词，这最大化了我在猜测这个词之前制作的错误数量（不正确的猜测）。我的目标是最大限度地减少它们。 （传统上，如果错误的次数>一些号码，那么我就会失去游戏，但我们可以放松那个约束。）

考虑三算法来猜测。这些是我想到的主要原因，但可能更多，我欢迎替代的想法。在所有三种算法中，第一步将是收集与秘密词相同的单词列表。然后，对于字母表中的每个字母，计算包含该字母的字典中的单词数。例如，可能5000包含“A”，300包含“B”，等等。在这里，它是python：

    alphabet = list('abcdefghijklmnopqrstuvwxyz')

    while not found:
        probabilities = dict.fromkeys(alphabet, 0)

        for word in dictionary:
            for letter in word:
                if letter in alphabet:
                    probabilities[letter] += 1

        # now we have the letter frequencies
.

之后是三种算法发散的地方。

  1. 在第一个算法中，我们猜测了最多剩余单词的字母包含。因此，如果5000个剩余的单词包含“a”，并且没有其他字母都是很多单词，我们每次都会选择“a”。如果“A”是正确的，这为我们提供了我们可以进一步过滤列表的位置信息。例如，我们可能会通过匹配“.a ..”的所有单词过滤列表。 （点是未知的字母。）如果“a”不正确，我们会过滤掉包含“a”的所有单词。在存在领带的情况下，在等数量的单词中找到两个字母，字母按字母顺序选择字母。所以，如果我们知道这个词匹配“.ayay”，我们只需按字母顺序猜出单词。

  2. 这与第一算法略有不同。在绑架的情况下，我们在随机选择字母的情况下，而不是总是选择字母顺序。这有利于我们的对手不知道我们将选择什么。在第一次策略中，“光线”总是比“天”更好。这避免了该问题。

    3. 在这种情况下，我们选择具有与包含该字母的单词数量成比例的概率。在开始时，当我们统计包含“a”的单词数量和包含“b”等的单词的数量时，由于“a”发生在最多的单词中，在我们选择的策略1和2中被发现“ “100％的时间。相反，我们仍将多次选择“一个”，但少数次我们将选择“Z”，即使A可能被发现在10倍的单词中。我对此策略的疑虑是最佳的，但它在2010年的研究中使用了。

    所以我有两个问题：

    1. 我应该使用假设我的对手知道我将使用这个策略？在这方面，我们希望尽量减少猜测秘密词的平均猜测数量。
    2. 对于给定的单词，说“支付”，什么是我应该预期的误区的平均次数？是否有一个闭合的方式来计算m，而不是多次运行这个模拟并平均结果？

      3. 澄清

      • 可以使用任何英语词典。例如，带有84k字的英语词典。。为歧义仔细选择的词典子集也可能是有趣的，但在这个问题的范围之外。
      • 只要单词在字典中，单词大小没有约束。猜测者将在开始猜测之前了解这个词。
      • 只有错误的总数，它与单词尺寸无关。您不会为更长的单词或更少的机会获得更多机会。
      • 我只对最小化平均错误次数感兴趣。如果有两个最佳算法具有等效的平均错误次数，则都是可接受的。
        • 原则上是有可能选择一个字母的情况（说“b”）导致更多信息，而不是另一个信息（说“a”），即使“a”发生在比“b”中的更可能的单词中发生做。我也在练习中对这种可能性开放。上面说明的三种算法假设
由于正确的猜测倾向于产生的信息而不是不正确的一个（即，关于正确字母的位置信息通常比“这个字母更好”）。但是最佳算法不需要做出这个假设。
有帮助吗？

解决方案

可以计算最佳策略，但计算可能相当密集，我不确定它是否会在简单的启发式中提供大部分增益。我会解释在下面。主要思想是使用动态编程。

确定性策略

让我首先使用确定策略的特殊情况，以选择接下来的猜测的字母，因为它们最容易分析。在我们继续随机策略之前，这将给我们一个热身（可能是上级）。

在任何点处的游戏状态可以通过fire $（g，r）$ ，其中 $ g $ 是到目前为止猜到的一组字母， $ r $ 是响应（即，空白和字母序列 $ g $ 对播放器可见）。过去猜测的顺序无关紧要（这就是为什么它足以拥有一个SET $ G $ 的猜测）。我们会说一个词 $ w $ 与 $（g，r）$ 如果它一致仍然是可能的，即，如果对手的单词是 $ w $ ，并且您将在 $ g $ 中猜测猜测然后，您将获得响应 $ r $ 。

let $ p（g，r）= 1 $ 如果可以从这里赢得从州 $（g，r）$ 。这意味着存在胜利的策略：无论对手都在思考哪个词（只要它与 $（g，r）$ ） ，到目前为止，您已经成交的错误猜测数量，加上您将来的数字与此策略一起制作，不会超过上限。否则，定义 $ p（g，r）= 0 $ 。

现在，使用复制关系

，可以使用动态编程计算 $ p（g，r）$

$$ p（g，r）=bigvee_a \ bigwedge _ {（g'，r'）} p（g'，r'），$$

其中 $ a $ 范围在 $ g $ （即，所有可能性猜测哪个字母下一个），而 $（g'，r'）$ 范围在所有可能的响应范围内，如果您猜出 $ $ next（即 $ g'= g \ cup \ {a \} $ ，我们在所有单词 $ W $ 与 $（g，r）$ 并计算响应 $ r'$ 猜测 $ g'$ 如果单词是 $ w $ ） 。

特别是，我建议您使用深度首先搜索和备忘，计算 $ p（g，r）$ 。然后， $ p（\ imptyset， - \ cdots - ）$ 将告诉您是否可以在上限内赢得胜利，无论对手选择什么单词。通过向后跟踪计算，您可以重建最佳策略。

这是可行的吗？我希望它是。我认为可能的状态 $（g，r）$ 不是太大。 （特别是，您可以忽略状态 $（g，r）$ 在您已经做出了太多不正确的猜测，以及只有一个单词与之一致的任何状态该状态自动获胜，因此它不需要进一步分析。）作为优化，给定州 $（g，r）$ ，您可以尝试枚举所有单词 $ w $ 与它们一致，并模拟一些固定的启发式，并检查它是否会赢取每个单词;如果是这样，您无需进行任何进一步的深度遍历，您可以立即标记 $ p（g，r）= 1 $ 。此外，您只需要考虑猜测 $ a $ ，它出现在至少一个与 $（g， r）$ 。

所以它应该非常简单地计算最佳的确定性策略。

随机策略

我们可以遵循类似的方法来处理随机策略，但它有点涉及。现在让 $ p（g，r）$ 表示从这里获胜的概率，如果我们在此处使用最佳策略。我们可以使用动态编程来再次计算此功能。

关键差异是在重复关系中，我们计算 $ p（g，r）$ 从数量 $ p（g'，r'）$ 其中 $（g'，r'）$ 范围可以在所有可能OCC的状态下

你曾经猜测一封信后。在这里，我们有一个简单的双人游戏。首先，我们选择不在 $ g $ 中的字母上的概率分布。然后对手看到了我们的分发，并选择一个关于 $ w $ 的分发，它与 $（g，r）一致$ 。我们的回报（以及对手失误的金额）等于我们在这里选择的概率。请注意，这可以从 $ p（g'，r'）$ 值来计算。事实证明，自从我们先去和对手看到我们的选择，对手不需要随机战略;它们可以与确定性策略相同，即，根据我们的分发选择单个单词 $ w $ 。如果我们形成矩阵 $ m $ 其中 $ m_ {w，i} $ 持有概率赢取如果我们选择字母 $ i $ next和对手选择字 $ w $ ;我们可以填写 $ m_ {w，i} $ 作为 $ p（g'，r'）$ 其中 $ g'= g \ cup \ {i \} $ 和 $ r'$ 是响应猜测 $ g'$ 如果单词是 $ w $ 。然后，我们寻求解决优化问题 $$ \ max_v \ min_w（mv）_w= - \ min_v \ max_w - （mv）_w= - \ min_v \ | -mv \ | _ \ infty。$$ 这可以通过线性编程。所以，我们可以计算 $ p（g，r）$ 使用从值 $ p（g'，r '）$ 其中 $ g'$ 是比 $ g $ 。

将此全部放在一起，我们将使用备忘录（或动态编程）使用深度 - 首先遍历，在每个步骤中使用线性编程来解决2播放机游戏。这为我们提供了最佳的随机策略来玩刽子手。

所产生的计算可能非常昂贵，因为它需要数十亿或万亿步，您可以在每个步骤中解决线性程序。所以，我不知道在实践中使用它是否真实。

某些优化是可能的，如@j_random_hacker所示。首先，可以首先计算 $ p（g，r）$ 用于确定性策略;然后，您只需要考虑状态的随机策略 $（g，r）$ 其中 $ p（g，r）= 0 $ 。

启发式策略

您列出了一些合理的启发式方法来选择策略。这是一个更启发式。鉴于州 $（g，r）$ ，枚举下一个猜测 $ a \ notin g $ 。让我们专注于单个字母 $ a $ 。然后，对于每个 $（g'，r'）$ ，它可以在猜测 $ a $ < / span>（所以 $ g'= g \ cup \ {a \} $ ），计算单词 $ W $ 与 $（g'，r'）$ ;占据这些数字的最大值，并使用它作为与 $ a $ 相关联的计数。启发式策略是选择字母 $ a $ ，其数量最小。

计算预期的错误次数

您可以使用动态编程计算特定随机策略的预期错误次数。细节与上述类似，但重复关系变得更简单：它变得

$$ p（g，r）=min_w \ mathbb {e} [p（g'，r'），$$

其中 $ w $ 范围与 $（g，r）$ ，和 $（g'，r'）$ 是下一个状态的分布如果单词是 $ w $ 并被猜测的下一封信由您的策略选择。鉴于您的策略和单词 $ w $ ，很容易计算猜测的分发，从而在下一个状态下获取分发，因此它很容易计算 $ \ mathbb {e} [p（g'，r'）$ 。

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