为什么$ \ sum_ {i= 0} ^ n \ sqrt {i} \ log_2 ^ 2i \ geq \ oomega（n \ sqrt {n} \ log_2n）$？

Question

其中<跨越类=“math-container”> $ \ oomega（f）$ 表示具有f作为下限的f的函数集，为什么 $ \sum_ {i= 0} ^ n \ sqrt {i} \ log_2 ^ 2i \ geq \ oomega（n \ sqrt {n} \ log_2n）$ ？

1. 如何将左侧的功能与整个集合进行比较？我认为通常一个函数是集合的一个元素，即 $ g \ in \ omega（f）$ 否则，即 $ g \投入\ oomega（f）$ 。
2. 如果它会说 $ \ sum_ {i= 0} ^ n \ sqrt {i} \ log_2 ^ 2i \ in \ omega（n \ sqrt {n} \ log_2n）$ 相反，我仍然不会理解为什么它是真的。你如何评估左侧的极限？

Answer 1

符号 $ f=oomega（g）$ 和 $ f \ geq \ omega（g）$ < / span>是相同的。在这两种情况下，它们都意味着存在正常常量 $ c $ ，使得对于大 $ n $ ， $ f（n）\ geq cg（n）$ 。

您可以估计如下总和： $$ \ sum_ {i= 0} ^ n \ sqrt {i} \ log_2 ^ 2 i \ geq \ sum_ {i= n / 2} ^ n \ sqrt {i} \ log_2 ^ 2 i \ geq \ sum_ {i= n / 2} ^ n \ sqrt {n / 2} \ log_2 ^ 2（n / 2）\ geq \ frac {n} {2} \ cdot \ sqrt {n / 2} \ log_2 ^ 2（n / 2）。 $$ 后一表达式是 $ \ oomega（n ^ {3/2} \ log ^ 2 n）$ ，这比您声称更好。

您也可以通过积分估计总和。根据Wolfram Alpha， $$ \ int \ sqrt {x} \ log ^ 2 x \，dx=frac {2} {27} x ^ {3/2}（9 \ log ^ 2 x - 12 \ log x + 8）+ c。 $$ 由于<跨度类=“math-container”> $ \ sqrt {i} \ log_2 ^ 2 i $ 正在增加，我们有 $$ \ int_0 ^ n \ sqrt {x} \ log ^ 2 x \，dx \ leq \ sum_ {i= 1} ^ n \ sqrt {i} \ log ^ 2 i \ leq \ int_1 ^ {n + 1} \ sqrt {x} \ log ^ 2 x \，dx， $$ 从中，我们看到你的总和是 $ \ theta（n ^ {3/2} \ log ^ 2 n）$ 。