具有相同复杂性函数的BIG-O的规则？

Question

大O符号的一个属性是 sum sure ，哪个指出，当我有两个函数 $ f_1 $ 和 $ f_2 $ 及其相应的复杂性功能是 $ g_1 $ 和 $ g_2 $ ，然后组合复杂性是 $ f_1 + f_2= o（\ max（g_1，g_2））$ 。

但如果两个复杂性函数相等，我们会选择什么？例如，如果 $ f_1（n）$ 是数组和 $ _ f2（m）$ 的排序同样，那么复杂性是<跨越类=“math-container”> $ o（n \ log（n））$ 和 $ o（m \ log（ m））$ 。应用规则将是 $ o（\ max（n \ log（n），m \ log（m）））$ 。我认为选择其中任何一个都会产生有效但非常不完全的估计，因为您将删除一个变量。除此之外，还不清楚哪一个。

是在有多个变量涉及的变量时不应该使用规则吗？

Answer 1

取决于某些变量是否依赖于另一个变量，或者如果它们作为问题的参数给出。例如，在许多与图形相关的问题中， $ n $ 可以是顶点的数量，而 $ m $ 可以是边缘的数量。在这种情况下， $ m $ 可以像 $ o（n ^ 2）$ 。因此，在一般情况下，假设我们有一个算法，其第一阶段在 $ o（n）$ 和 $ O（m）$ ，我们只需将两个术语添加在一起，不要尝试简化---最终的运行时是 $ o（n + m） $ 。

在若干变量中作为不一定相关的参数的变量：在最终方程内的大量变量是标准的，例如，我可以说乘以 $ m \ time n $ 矩阵和 $ n \ times p $ 矩阵使用 $ o（mnp）$ -time使用上学簿乘法，或解决knapsack问题需要 $ o（nt）$ < / span> - 时间 $ n $ 是项目和 $ t $ 是目标和。

在平面图和其他稀疏图中的特殊情况下，我们知道<跨度类=“math-container”> $ m= o（n）$ ，因此我们可以安全地替换 $ n $ 代替 $ m $ 在最终运行时间以简化。

作为介绍，这说明了为什么在稀疏图表中（其中 $ m= o（n）$ ）一个人更愿意在循环中使用dijktra的循环 - 对最短路径（与Ployd-Warshall等基于基于闭合的算法相比）;自行以来，Dijkstra在 $ o（m \ log n）= O（n \ log n）$ 中，循环中使用dijkstra的总体复杂性变为 $ O（n ^ 2 \ log n）$ ，比Floyd-Warshall更好。相比之下，请注意，Dijkstra在 $ m \ log n $ 中运行的常规情况，这意味着在 $的密集图上m= o（n ^ 2）$ ，在最坏情况下运行时间内变得效率低于Floyd-Warshall。

在其他情况下，可以有变量甚至没有由给定参数多项式界限 - 拍摄上面的背包示例，其中 $ t $ 可以是 $ n $ 。

中的指数

Answer 2

没有一般答案。顺便说一下，如果要简化 $ o（\ max（n \ log（n），m \ log（m）））$ ，您可以重写它与 $ o（（n + m）\ log（n + m））$ 。

此外，如果 $ g_1 $ 和 $ g_2 $ 是equl和越来越多的函数，则可以写 $ o（g_1（n + m））$ 而不是 $ o（\ max（g_1（n），g_2（g_2）（m）））$ 。

Answer 3

通过定义 $ o（g）$ 应始终定义可变和限制点，以考虑 $ o $ 。例如，在<跨越类=“math-container”> $ o（n ^ 3）中，n \ to \ idty $ 变量是 $ n $ 和限制点 $ \ idty $ 。在 $ o（x ^ 3）中，x \ to 0 $ 变量是 $ x $ 和限制点 $ 0 $ 。

所以当我们写入 $ f= o（g）$ 时，那么正式我们的意思是一些变量和一些限制点。例如 $ f（n）= o（g（n）），n \ to \ idty $ 是精确的记录。注意，记录 $ f（m）= o（g（m）），m \ to \ idty $ 意味着与先前的句子完全相同。

当我们谈论属性 $ f_1 + f_2= o（\ max（g_1，g_2））$ ，那么这里也应该陈述一些变量（s ）和一些限制点。所以确切的记录应该是类似的 $$ f_1（n）+ f_2（n）= o（\ max（g_1，g_2）（n）），n \ to \ infty $$ 或者我们需要更多地澄清变量，假设限制点 $ \ idty $ 。