随机元素赢得了基于转向游戏的概率

Question

我正在为概率理论准备编程考试，我偶然发现了我无法解决的问题。

给定袋子，它包含一些给定金属的白色石头 $ w $ ，以及一些给定的黑色石头 $ B $ ，两名球员从袋子随机均匀地转动绘图石头。 在每个玩家转弯一块石头后，随机均匀地选择，才会消失，只有那么另一名球员才会轮到他们。如果被绘制了一块白色的石头，那么绘制它的球员，瞬间丢失和游戏结束。如果袋子变空，那些播放的玩家胜利。

玩家的总体概率是什么，谁播放了第二个，胜利？

我假设它是一个动态的编程问题，但我无法弄清楚递归公式。任何帮助将不胜感激。 :)

示例输入： $ w $ = 3， $ b $ = 4，那么答案是，我相信，0.4，我通过手工计算后到达的是游戏的所有可能的方式，所以不太高效。

Answer 1

让我们表示 $ \ pr（w，b）$ P2获胜的概率给出轮到他们的转弯，并且有 $ w $ 白色石头和 $ b $ 黑色石头剩余且类似于我们编写 $ \ overline \ Pr（w，b）$ 对于P2获胜的可能性，鉴于P1转弯。

从游戏的规则我们得到以下任何一种情况，在P2的转弯中会发生（假设留下足够的石头）：

1. 白色是绘制的，P2丢失。这与概率 $ w /（w + b）$ 。
2. 黑色被绘制，白色石头消失了。这是 $ b /（w + b）\ cdot w /（w + b-1）$ 。
3. 黑色被绘制，黑色石头消失了。我们发现这是 $ b /（w + b）\ cdot（b-1）/（w + b-1）$ 。

   如果它是p1转向播放，我们发现类似的情况：

   1. 白色是绘制的，P2胜。这与概率 $ w /（w + b）$ 。
   2. 黑色被绘制，白色石头消失了。这是 $ b /（w + b）\ cdot w /（w + b-1）$ 。
   3. 黑色被绘制，黑色石头消失了。我们发现这是 $ b /（w + b）\ cdot（b-1）/（w + b-1）$ 。 我们现在可以因子 $ \ pr $ 和 $ \ overline \ pr $ 使用我们的案例差异和一些简单的概率理论： $$ \ begin {align *} \ Pr（w，b）＆=pr（\ text {case 1.2}）\ cdot \ overline \ pr（w - 1，b-1）+ \ pr（\ text {case 1.3}）\ cdot \ overline \ Pr（w，b - 2），\\ \ overline \ pr（w，b）＆=pr（\ text {case 2.1}）+ \ pr（\ text {case 2.2}）\ cdot \ pr（w - 1，b - 1）+ \ pr（\文本{案例2.3}）\ cdot \ pr（w，b - 2） \结束{align *} $$ 请注意，我们可以组合这两个方程来查找 $ \ pr $ （我不会在此输入简洁）的递归公式。 耦合这些与初始值 $ \ pr（w，b）$ 其中 $ w + b \ leq 4 $ （可以预先计算）将给我们一种算法的方法来找到所需的概率。