임의의 요소로 턴 기반 게임 우승 가능성

Question

나는 확률 이론에 대한 프로그래밍 시험을 준비하고 있습니다. 나는 내가 해결할 수없는 질문을 걸러 냈습니다.

주어진 양의 백색 돌 $ w $ 및 검은 색 양의 $ B $ , 두 명의 플레이어가 가방에서 무작위로 균일하게 돌을 끌어 올리십시오. 각 플레이어가 돌을 균일하게 균일하게 선택한 후에, 다른 플레이어가 차례로 균일하게 선택됩니다. 흰 돌이 그려진 경우, 그려진 플레이어는 즉시 잃고, 즉시 잃고 게임이 끝납니다. 가방이 비어 있으면 두 번째로 연주 한 플레이어가 승리합니다.

두 번째로 연주 한 플레이어가이기는 전반적인 확률은 무엇입니까?

재귀 수식을 알아낼 수는 없지만 동적 프로그래밍 질문이라고 가정합니다. 도움이 크게 감사 할 것입니다. :)

예제 입력 : $ W $ = 3, $ b $ = 4, 대답은, 나는 게임을위한 모든 가능한 방법을 손으로 계산 한 후에도 계산 한 후에도 매우 효율적이지 않으므로,

Answer 1

$ \ pr (w, b) $ 턴이 주어지는 P2 우승의 확률이 있고 $ W $ 흰색 돌과 $ b $ 나머지 검은 돌은 $ \ overline \ PR (W, B) $ 은 P1의 회전이 주어진 P2 우승의 확률을 위해

게임의 규칙에서 다음과 같은 경우 P2의 차례에서 발생할 수 있습니다 (충분한 돌임이 남아 있음) :

1. 흰색이 그려져 P2가 잃습니다. 이것은 $ w / (w + b) $
의 확률
2. 검정색이 그려져 흰 돌이 사라집니다. 이것에 대한 확률은 $ b / (w + b) \ cdot w / (w + b - 1) $
입니다.
3. 검정색이 그려져 검은 돌이 사라집니다. 우리는 이것이 $ b / (w + b) \ cdot (b - 1) / (w + b - 1) $

   P1이 재생할 때 우리는 유사한 경우를 찾습니다 :

   1. 백색이 그려지고 P2가 승리됩니다. 이것은 $ w / (w + b) $
   의 확률
   2. 검정색이 그려져 흰 돌이 사라집니다. 이것에 대한 확률은 $ b / (w + b) \ cdot w / (w + b - 1) $
   입니다.
   3. 검정색이 그려져 검은 돌이 사라집니다. 우리는 이것이 $ b / (w + b) \ cdot (b - 1) / (w + b - 1) $

      이제 $ \ pr $ 및 $ \ overline \ pr $ 우리의 경우 구분을 사용하여 그리고 몇 가지 간단한 확률 이론 : $$ \ 시작 {정렬 *} \ PR (w, b) & \ \ pr (\ text {case 1.2}) \ CDOT \ overline \ pr (w - 1, b - 1) + \ PR (\ text {case 1.3}) \ cdot \ overline \ 홍보 (W, B - 2), \\ \ overline \ pr (w, b) & \ \ pr (\ text {case 2.1}) + \ PR (\ text {case 2.2}) \ cdot \ pr (w - 1, b - 1) + \ r (\ 텍스트 {케이스 2.3}) \ CDOT \ PR (W, B - 2) \ end {정렬 *} $$ 우리는이 2 개의 방정식을 결합하여 $ \ pr $ (나는 여기서 간결함을 위해 여기에 나오지 않을 것입니다)에 대한 재귀 수식을 찾을 수 있습니다. 이들을 초기 값 $ \ pr (W, B) $ 여기서 $ w + b \ leq 4 $ (미리 계산 될 수 있음)은 우리에게 원하는 확률을 찾는 알고리즘을 제공합니다.