查找数字的最大素因数的算法

Question

计算数字的最大素因数的最佳方法是什么？

我认为最有效的方法如下：

1. 找到能整除的最小素数
2. 检查除法结果是否为素数
3. 如果没有，则查找下一个最低值
4. 转到2。

我的这一假设是基于计算小质因数更容易。这大约是对的吗？我还应该研究哪些其他方法？

编辑：我现在意识到，如果有超过 2 个素数因子在起作用，我的方法是徒劳的，因为当结果是其他两个素数的乘积时，步骤 2 会失败，因此需要递归算法。

再次编辑：现在我意识到这仍然有效，因为最后找到的素数必须是最大的素数，因此对步骤 2 中的非素数结果的任何进一步测试都会导致更小的素数。

Answer 1

实际上，有几种更有效的方法可以找到大数的因子（对于较小的数，试除法效果相当好）。

如果输入数字有两个非常接近其平方根的因子，则一种非常快的方法称为 费马因式分解. 。它利用恒等式 N = (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 并且易于理解和实现。不幸的是，总体来说速度不是很快。

最著名的对 100 位以内的数字进行因式分解的方法是 二次筛. 。额外的好处是，该算法的一部分可以通过并行处理轻松完成。

我听说过的另一种算法是 Pollard 的 Rho 算法. 。一般来说，它不如二次筛有效，但似乎更容易实现。

---

一旦你决定如何将一个数字分成两个因子，下面是我能想到的找到一个数字的最大素因子的最快算法：

创建一个优先级队列，最初存储数字本身。每次迭代，您都会从队列中删除最大的数字，并尝试将其拆分为两个因素（当然，不允许 1 成为这些因素之一）。如果此步骤失败，则该数字是素数，您就有了答案！否则，您将这两个因素添加到队列中并重复。

Answer 2

这是我所知道的最好的算法（Python）

def prime_factors(n):
    """Returns all the prime factors of a positive integer"""
    factors = []
    d = 2
    while n > 1:
        while n % d == 0:
            factors.append(d)
            n /= d
        d = d + 1

    return factors


pfs = prime_factors(1000)
largest_prime_factor = max(pfs) # The largest element in the prime factor list

上面的方法运行在 O(n) 在最坏的情况下（当输入是素数时）。

编辑：
下面是 O(sqrt(n)) 版本，如评论中所建议。这是代码。

def prime_factors(n):
    """Returns all the prime factors of a positive integer"""
    factors = []
    d = 2
    while n > 1:
        while n % d == 0:
            factors.append(d)
            n /= d
        d = d + 1
        if d*d > n:
            if n > 1: factors.append(n)
            break
    return factors


pfs = prime_factors(1000)
largest_prime_factor = max(pfs) # The largest element in the prime factor list

Answer 3

我的回答是基于 三联画的，但改进了很多。它基于以下事实：除了 2 和 3 之外，所有素数的形式都是 6n-1 或 6n+1。

var largestPrimeFactor;
if(n mod 2 == 0)
{
    largestPrimeFactor = 2;
    n = n / 2 while(n mod 2 == 0);
}
if(n mod 3 == 0)
{
    largestPrimeFactor = 3;
    n = n / 3 while(n mod 3 == 0);
}

multOfSix = 6;
while(multOfSix - 1 <= n)
{
    if(n mod (multOfSix - 1) == 0)
    {
        largestPrimeFactor = multOfSix - 1;
        n = n / largestPrimeFactor while(n mod largestPrimeFactor == 0);
    }

    if(n mod (multOfSix + 1) == 0)
    {
        largestPrimeFactor = multOfSix + 1;
        n = n / largestPrimeFactor while(n mod largestPrimeFactor == 0);
    }
    multOfSix += 6;
}

我最近写了一篇 博客文章 解释该算法的工作原理。

我敢说，一种不需要素性测试（并且不需要构造筛子）的方法会比使用这些方法的方法运行得更快。如果是这样的话，这可能是这里最快的算法。

Answer 4

JavaScript 代码：

'option strict';

function largestPrimeFactor(val, divisor = 2) { 
    let square = (val) => Math.pow(val, 2);

    while ((val % divisor) != 0 && square(divisor) <= val) {
        divisor++;
    }

    return square(divisor) <= val
        ? largestPrimeFactor(val / divisor, divisor)
        : val;
}

使用示例：

let result = largestPrimeFactor(600851475143);

这是代码示例:

Answer 5

所有数字都可以表示为素数的乘积，例如：

102 = 2 x 3 x 17
712 = 2 x 2 x 2 x 89

您可以通过简单地从 2 开始并继续除法直到结果不是您的数字的倍数来找到这些：

712 / 2 = 356 .. 356 / 2 = 178 .. 178 / 2 = 89 .. 89 / 89 = 1

使用这种方法，您不必实际计算任何素数：它们都将是素数，因为您已经尽可能地将这个数字与所有前面的数字进行因式分解。

number = 712;
currNum = number;    // the value we'll actually be working with
for (currFactor in 2 .. number) {
    while (currNum % currFactor == 0) {
        // keep on dividing by this number until we can divide no more!
        currNum = currNum / currFactor     // reduce the currNum
    }
    if (currNum == 1) return currFactor;    // once it hits 1, we're done.
}

Answer 6

    //this method skips unnecessary trial divisions and makes 
    //trial division more feasible for finding large primes

    public static void main(String[] args) 
    {
        long n= 1000000000039L; //this is a large prime number 
        long i = 2L;
        int test = 0;

        while (n > 1)
        {
            while (n % i == 0)
            {
                n /= i;     
            }

            i++;

            if(i*i > n && n > 1) 
            {
                System.out.println(n); //prints n if it's prime
                test = 1;
                break;
            }
        }

        if (test == 0)  
            System.out.println(i-1); //prints n if it's the largest prime factor
    }

Answer 7

与@Triptych 答案类似但也不同。在此示例中未使用列表或字典。代码是用 Ruby 编写的

def largest_prime_factor(number)
  i = 2
  while number > 1
    if number % i == 0
      number /= i;
      i -= 1
    end
    i += 1
  end
  return i
end

largest_prime_factor(600851475143)
# => 6857

Answer 8

最简单的解决方案是一对 相互递归 功能。

第一个函数生成所有素数：

1. 从所有大于 1 的自然数的列表开始。
2. 删除所有非素数。也就是说，没有质因数的数字（除了它们本身）。见下文。

第二个函数返回给定数字的质因数 n 按递增顺序。

1. 列出所有素数（见上文）。
2. 删除所有不是因数的数字 n.

的最大素因数 n 是第二个函数给出的最后一个数字。

该算法需要一个 懒惰清单 或一种语言（或数据结构） 按需要致电 语义。

为了澄清起见，这里是 Haskell 中上述内容的一种（低效）实现：

import Control.Monad

-- All the primes
primes = 2 : filter (ap (<=) (head . primeFactors)) [3,5..]

-- Gives the prime factors of its argument
primeFactors = factor primes
  where factor [] n = []
        factor xs@(p:ps) n =
          if p*p > n then [n]
          else let (d,r) = divMod n p in
            if r == 0 then p : factor xs d
            else factor ps n

-- Gives the largest prime factor of its argument
largestFactor = last . primeFactors

使这个速度更快只是更聪明地检测哪些数字是质数和/或质数的问题 n, ，但算法保持不变。

Answer 9

n = abs(number);
result = 1;
if (n mod 2 == 0) {
  result = 2;
  while (n mod 2 = 0) n /= 2;
}
for(i=3; i<sqrt(n); i+=2) {
  if (n mod i == 0) {
    result = i;
    while (n mod i = 0)  n /= i;
  }
}
return max(n,result)

有一些模测试是多余的，因为如果所有因子 2 和 3 都被删除，n 永远不能被 6 除。您只能允许 i 为素数，这在其他几个答案中有所显示。

你实际上可以在这里交织埃拉托色尼筛：

• 首先创建到SQRT（N）的整数列表。
• 在for循环中，将i的所有倍数标记为新的sqrt（n）不是prime，然后使用一段循环。
• 将i设置为列表中的下一个素数。

另请参阅 这个问题.

Answer 10

我知道这不是一个快速的解决方案。希望发布为更容易理解的缓慢解决方案。

 public static long largestPrimeFactor(long n) {

        // largest composite factor must be smaller than sqrt
        long sqrt = (long)Math.ceil(Math.sqrt((double)n));

        long largest = -1;

        for(long i = 2; i <= sqrt; i++) {
            if(n % i == 0) {
                long test = largestPrimeFactor(n/i);
                if(test > largest) {
                    largest = test;
                }
            }
        }

        if(largest != -1) {
            return largest;
        }

        // number is prime
        return n;
    } 

Answer 11

Python 迭代方法，从数字中删除所有质因数

def primef(n):
    if n <= 3:
        return n
    if n % 2 == 0:
        return primef(n/2)
    elif n % 3 ==0:
        return primef(n/3)
    else:
        for i in range(5, int((n)**0.5) + 1, 6):
            #print i
            if n % i == 0:
                return primef(n/i)
            if n % (i + 2) == 0:
                return primef(n/(i+2))
    return n

Answer 12

我正在使用继续将数字除以当前质因数的算法。

我在 python 3 中的解决方案：

def PrimeFactor(n):
    m = n
    while n%2==0:
        n = n//2
    if n == 1:         # check if only 2 is largest Prime Factor 
        return 2
    i = 3
    sqrt = int(m**(0.5))  # loop till square root of number
    last = 0              # to store last prime Factor i.e. Largest Prime Factor
    while i <= sqrt :
        while n%i == 0:
            n = n//i       # reduce the number by dividing it by it's Prime Factor
            last = i
        i+=2
    if n> last:            # the remaining number(n) is also Factor of number 
        return n
    else:
        return last
print(PrimeFactor(int(input()))) 

输入 ： 10输出 ： 5

输入 ： 600851475143 输出 ： 6857

Answer 13

这是我在 c# 中的尝试。最后打印出来的是该数字的最大素因数。我检查了一下，它有效。

namespace Problem_Prime
{
  class Program
  {
    static void Main(string[] args)
    {
      /*
       The prime factors of 13195 are 5, 7, 13 and 29.

      What is the largest prime factor of the number 600851475143 ?
       */
      long x = 600851475143;
      long y = 2;
      while (y < x)
      {
        if (x % y == 0)
        {
          // y is a factor of x, but is it prime
          if (IsPrime(y))
          {
            Console.WriteLine(y);
          }
          x /= y;
        }

        y++;

      }
      Console.WriteLine(y);
      Console.ReadLine();
    }
    static bool IsPrime(long number)
    {
      //check for evenness
      if (number % 2 == 0)
      {
        if (number == 2)
        {
          return true;
        }
        return false;
      }
      //don't need to check past the square root
      long max = (long)Math.Sqrt(number);
      for (int i = 3; i <= max; i += 2)
      {
        if ((number % i) == 0)
        {
          return false;
        }
      }
      return true;
    }

  }
}

Answer 14

#python implementation
import math
n = 600851475143
i = 2
factors=set([])
while i<math.sqrt(n):
   while n%i==0:
       n=n/i
       factors.add(i)
   i+=1
factors.add(n)
largest=max(factors)
print factors
print largest

Answer 15

在 C++ 中使用递归计算数字的最大素因数。代码的工作原理解释如下：

int getLargestPrime(int number) {
    int factor = number; // assumes that the largest prime factor is the number itself
    for (int i = 2; (i*i) <= number; i++) { // iterates to the square root of the number till it finds the first(smallest) factor
        if (number % i == 0) { // checks if the current number(i) is a factor
            factor = max(i, number / i); // stores the larger number among the factors
            break; // breaks the loop on when a factor is found
        }
    }
    if (factor == number) // base case of recursion
        return number;
    return getLargestPrime(factor); // recursively calls itself
}

Answer 16

这是我快速计算最大素因数的方法。它是基于事实修改的 x 不包含非素因数。为了实现这一目标，我们划分 x 一旦找到因素。那么剩下的就是返回最大的因数了。它已经是最佳状态了。

代码（哈斯克尔）：

f max' x i | i > x = max'
           | x `rem` i == 0 = f i (x `div` i) i  -- Divide x by its factor
           | otherwise = f max' x (i + 1)  -- Check for the next possible factor

g x = f 2 x 2

Answer 17

下面的 C++ 算法不是最好的算法，但它适用于十亿以下的数字，而且速度相当快

#include <iostream>
using namespace std;

// ------ is_prime ------
// Determines if the integer accepted is prime or not
bool is_prime(int n){
    int i,count=0;
    if(n==1 || n==2)
      return true;
    if(n%2==0)
      return false;
    for(i=1;i<=n;i++){
    if(n%i==0)
        count++;
    }
    if(count==2)
      return true;
    else
      return false;
 }
 // ------ nextPrime -------
 // Finds and returns the next prime number
 int nextPrime(int prime){
     bool a = false;
     while (a == false){
         prime++;
         if (is_prime(prime))
            a = true;
     }
  return prime;
 }
 // ----- M A I N ------
 int main(){

      int value = 13195;
      int prime = 2;
      bool done = false;

      while (done == false){
          if (value%prime == 0){
             value = value/prime;
             if (is_prime(value)){
                 done = true;
             }
          } else {
             prime = nextPrime(prime);
          }
      }
        cout << "Largest prime factor: " << value << endl;
 }

Answer 18

在“James Wang”的网络上找到了这个解决方案

public static int getLargestPrime( int number) {

    if (number <= 1) return -1;

    for (int i = number - 1; i > 1; i--) {
        if (number % i == 0) {
            number = i;
        }
    }
    return number;
}

Answer 19

使用筛子的质因数：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10001  
typedef long long ll;
bool visit[N];
vector<int> prime;

void sieve()
{
            memset( visit , 0 , sizeof(visit));
            for( int i=2;i<N;i++ )
            {
                if( visit[i] == 0)
                {
                    prime.push_back(i);
                    for( int j=i*2; j<N; j=j+i )
                    {
                        visit[j] = 1;
                    }
                }
            }   
}
void sol(long long n, vector<int>&prime)
{
            ll ans = n;
            for(int i=0; i<prime.size() || prime[i]>n; i++)
            {
                while(n%prime[i]==0)
                {
                    n=n/prime[i];
                    ans = prime[i];
                }
            }
            ans = max(ans, n);
            cout<<ans<<endl;
}
int main() 
{
           ll tc, n;
           sieve();

           cin>>n;
           sol(n, prime);

           return 0;
}

Answer 20

在我看来，给出的算法的第二步并不是那么有效的方法。你没有合理的期望它是素数。

此外，之前提出埃拉托斯特尼筛法的答案是完全错误的。我刚刚编写了两个程序来分解 123456789。一种基于筛子，一种基于以下内容：

1)  Test = 2 
2)  Current = Number to test 
3)  If Current Mod Test = 0 then  
3a)     Current = Current Div Test 
3b)     Largest = Test
3c)     Goto 3. 
4)  Inc(Test) 
5)  If Current < Test goto 4
6)  Return Largest

该版本比 Sieve 快 90 倍。

问题是，在现代处理器上，操作类型远不如操作数量重要，更不用说上面的算法可以在缓存中运行，而 Sieve 则不能。筛子使用大量运算来剔除所有合数。

另请注意，我在确定因素时对其进行划分减少了必须测试的空间。

Answer 21

首先计算一个存储素数的列表，例如2 3 5 7 11 13 ...

每次对数字进行质因式分解时，请使用 Triptych 的实现，但迭代此质数列表而不是自然整数。

Answer 22

使用Java：

为了 int 价值观：

public static int[] primeFactors(int value) {
    int[] a = new int[31];
    int i = 0, j;
    int num = value;
    while (num % 2 == 0) {
        a[i++] = 2;
        num /= 2;
    }
    j = 3;
    while (j <= Math.sqrt(num) + 1) {
        if (num % j == 0) {
            a[i++] = j;
            num /= j;
        } else {
            j += 2;
        }
    }
    if (num > 1) {
        a[i++] = num;
    }
    int[] b = Arrays.copyOf(a, i);
    return b;
}

为了 long 价值观：

static long[] getFactors(long value) {
    long[] a = new long[63];
    int i = 0;
    long num = value;
    while (num % 2 == 0) {
        a[i++] = 2;
        num /= 2;
    }
    long j = 3;
    while (j <= Math.sqrt(num) + 1) {
        if (num % j == 0) {
            a[i++] = j;
            num /= j;
        } else {
            j += 2;
        }
    }
    if (num > 1) {
        a[i++] = num;
    }
    long[] b = Arrays.copyOf(a, i);
    return b;
}

Answer 23

这可能并不总是更快，但更乐观的是你找到了一个大的素数：

1. N 是你的电话号码
2. 如果它是素数那么 return(N)
3. 计算素数直到 Sqrt(N)
4. 按降序遍历素数（最大的在前）
   • 如果 N is divisible by Prime 然后 Return(Prime)

编辑：在步骤 3 中，您可以使用埃拉托斯特尼筛法或阿特金斯筛法或任何您喜欢的方法，但筛法本身不会找到最大的素因子。（这就是为什么我不会选择 SQLMenace 的帖子作为官方答案......）

Answer 24

我认为最好将所有可能的小于 n 的素数存储在某个地方，然后迭代它们以找到最大的除数。您可以从以下位置获取素数 质数网站.

当然我假设你的数字不会太大:)

Answer 25

不是最快的，但它有效！

    static bool IsPrime(long num)
    {
        long checkUpTo = (long)Math.Ceiling(Math.Sqrt(num));
        for (long i = 2; i <= checkUpTo; i++)
        {
            if (num % i == 0)
                return false;
        }
        return true;
    }

Answer 26

这是作为生成器提供的相同函数@Triptych，它也被稍微简化了。

def primes(n):
    d = 2
    while (n > 1):
        while (n%d==0):
            yield d
            n /= d
        d += 1

然后可以使用以下方法找到最大素数：

n= 373764623
max(primes(n))

以及使用以下方法找到的因素列表：

list(primes(n))

Answer 27

#include<stdio.h>
#include<conio.h>
#include<math.h>
#include <time.h>

factor(long int n)
{
long int i,j;
while(n>=4)
 {
if(n%2==0) {  n=n/2;   i=2;   }

 else
 { i=3;
j=0;
  while(j==0)
  {
   if(n%i==0)
   {j=1;
   n=n/i;
   }
   i=i+2;
  }
 i-=2;
 }
 }
return i;
 }

 void main()
 { 
  clock_t start = clock();
  long int n,sp;
  clrscr();
  printf("enter value of n");
  scanf("%ld",&n);
  sp=factor(n);
  printf("largest prime factor is %ld",sp);

  printf("Time elapsed: %f\n", ((double)clock() - start) / CLOCKS_PER_SEC);
  getch();
 }