C 中计算高效的三维数组

Question

我正在尝试以数值方式求解一组三维偏微分方程。在每个方程中，点中未知数的下一个值取决于最近点中每个未知数的当前值。

为了编写有效的代码，我需要使三个维度中的点在（一维）内存空间中接近，以便每个值仅从内存中调用一次。

我正在考虑使用八叉树，但我想知道是否有人知道更好的方法。

Answer 1

八叉树是必经之路。将数组细分为 8 个八分圆：

1 2
3 4

---

5 6
7 8

然后将它们按照上面的1、2、3、4、5、6、7、8的顺序排列在内存中。您在每个八分圆内递归地重复此操作，直到达到某个基本大小，可能约为 128 字节左右（这只是一个猜测 - 确保进行分析以确定最佳截止点）。与简单的布局相比，这具有更好的缓存一致性和引用局部性。

Answer 2

树方法的一种替代方法：使用 Morton-Order 对数据进行编码。

在三维空间中，它是这样的：取坐标分量并将每个位交错两个零位。这里以二进制显示：11111b 变为 1001001001b

执行此操作的 C 函数如下所示（为清楚起见，仅显示 11 位）：

int morton3 (int a)
{
  int result = 0;
  int i;
  for (i=0; i<11; i++)
  {
     // check if the i'th bit is set.
     int bit = a&(1<<i);
     if (bit)
     {
       // if so set the 3*i'th bit in the result:
       result |= 1<<(i*3);
     }
  }
  return result;
}

您可以使用此功能来组合您的仓位，如下所示：

index = morton3 (position.x) + 
        morton3 (position.y)*2 +
        morton3 (position.z)*4;

这会将您的三维索引变成一维索引。其中最好的部分：在 3D 空间中接近的值在 1D 空间中也接近。如果您经常访问彼此接近的值，您还将获得非常好的加速，因为莫顿顺序编码在缓存局部性方面是最佳的。

对于 morton3，你最好不要使用上面的代码。使用一个小表一次查找 4 或 8 位并将它们组合在一起。

希望它有帮助，尼尔

Answer 3

这本书 多维和度量数据结构的基础 可以帮助您决定哪种数据结构对于范围查询最快：八叉树、kd 树、R 树、...它还描述了将点保存在内存中的数据布局。