如何计算将字符串转换为回文所需的字符数？

Question

我最近发现一个竞赛问题，要求您计算必须在字符串中（任何位置）插入以将其转换为回文的最小字符数。

例如，给定字符串：“abcbd”我们可以通过插入两个字符将其变成回文：一个在“a”之后，另一个在“d”之后：“AdBCBA".

这似乎是一个类似问题的概括，它要求相同的事情，除了字符只能在末尾添加 - 这有一个使用哈希表的 O(N) 非常简单的解决方案。

我一直在尝试修改 编辑距离算法 来解决这个问题，但是还没有成功。任何有关如何解决此问题的帮助（不一定必须高效，我只是对任何 DP 解决方案感兴趣）将不胜感激。

Answer 1

笔记：这只是一个好奇心。Dav 提出了一种可以修改为 DP 算法的算法，以便轻松地在 O(n^2) 时间和 O(n^2) 空间中运行（也许 O(n) 具有更好的簿记功能）。

当然，如果您决定更改允许的操作，这种“天真的”算法实际上可能会派上用场。

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这是一个“天真的”算法，通过巧妙的簿记可能可以使其更快。

给定一个字符串，我们猜测生成的回文串的中间，然后尝试计算使该字符串成为围绕该中间的回文串所需的插入次数。

如果字符串的长度为 n，则有 2n+1 个可能的中间值（每个字符位于两个字符之间，位于字符串之前和之后）。

假设我们考虑一个中间，它给我们两个字符串 L 和 R（一个向左，一个向右）。

如果我们使用插入件，我相信 最长公共子序列 算法（DP 算法）现在可用于创建一个“超级”字符串，其中包含 L 和 R 的逆序，请参阅 最短公共超序列.

选择中间插入数量最少的。

我相信这是 O(n^3) 。（笔记：我没有尝试证明这是真的）。

Answer 2

我的 C# 解决方案查找字符串中的重复字符并使用它们来减少插入次数。用一句话来说就是 程序, ，我使用“r”字符作为边界。在“r”内部，我将其设为回文（递归地）。在“r”之外，我镜像左侧和右侧的字符。

某些输入具有多个最短输出： 输出 可 兜售 或者 输出普陀. 。我的解决方案只选择其中一种可能性。

一些示例运行：

• 雷达 -> 雷达, 0 次插入
• 生态系统 -> 元系统, 2 个插入
• 信息 -> 梅加萨海姆, 3 个插入
• 堆栈交换 -> 斯坦格纳克克切克变更, 8 个插入

首先，我需要检查输入是否已经是回文：

public static bool IsPalindrome(string str)
{
    for (int left = 0, right = str.Length - 1; left < right; left++, right--)
    {
        if (str[left] != str[right])
            return false;
    }
    return true;
}

然后我需要找到输入中任何重复的字符。可能有不止一个。这个单词 信息 有两个最常重复的字符（“e”和“s”）：

private static bool TryFindMostRepeatedChar(string str, out List<char> chs)
{
    chs = new List<char>();
    int maxCount = 1;

    var dict = new Dictionary<char, int>();
    foreach (var item in str)
    {
        int temp;
        if (dict.TryGetValue(item, out temp))
        {
            dict[item] = temp + 1;
            maxCount = temp + 1;
        }
        else
            dict.Add(item, 1);
    }

    foreach (var item in dict)
    {
        if (item.Value == maxCount)
            chs.Add(item.Key);
    }

    return maxCount > 1;
}

我的算法在这里：

public static string MakePalindrome(string str)
{
    List<char> repeatedList;
    if (string.IsNullOrWhiteSpace(str) || IsPalindrome(str))
    {
        return str;
    }
    //If an input has repeated characters,
    //  use them to reduce the number of insertions
    else if (TryFindMostRepeatedChar(str, out repeatedList))
    {
        string shortestResult = null;
        foreach (var ch in repeatedList) //"program" -> { 'r' }
        {
            //find boundaries
            int iLeft = str.IndexOf(ch); // "program" -> 1
            int iRight = str.LastIndexOf(ch); // "program" -> 4

            //make a palindrome of the inside chars
            string inside = str.Substring(iLeft + 1, iRight - iLeft - 1); // "program" -> "og"
            string insidePal = MakePalindrome(inside); // "og" -> "ogo"

            string right = str.Substring(iRight + 1); // "program" -> "am"
            string rightRev = Reverse(right); // "program" -> "ma"

            string left = str.Substring(0, iLeft); // "program" -> "p"
            string leftRev = Reverse(left); // "p" -> "p"

            //Shave off extra chars in rightRev and leftRev
            //  When input = "message", this loop converts "meegassageem" to "megassagem",
            //    ("ee" to "e"), as long as the extra 'e' is an inserted char
            while (left.Length > 0 && rightRev.Length > 0 && 
                left[left.Length - 1] == rightRev[0])
            {
                rightRev = rightRev.Substring(1);
                leftRev = leftRev.Substring(1);
            }

            //piece together the result
            string result = left + rightRev + ch + insidePal + ch + right + leftRev;

            //find the shortest result for inputs that have multiple repeated characters
            if (shortestResult == null || result.Length < shortestResult.Length)
                shortestResult = result;
        }

        return shortestResult;
    }
    else
    {
        //For inputs that have no repeated characters, 
        //  just mirror the characters using the last character as the pivot.
        for (int i = str.Length - 2; i >= 0; i--)
        {
            str += str[i];
        }
        return str;
    }
}

请注意，您需要一个 Reverse 函数：

public static string Reverse(string str)
{
    string result = "";
    for (int i = str.Length - 1; i >= 0; i--)
    {
        result += str[i];
    }
    return result;
}

Answer 3

C＃ 添加到字符串末尾的递归解决方案：

有 2 个基本情况。当长度为1或2时。递归情况：如果极端是相等的，则将palindrome在没有极端的情况下使内部字符串返回。如果极端不相等，则将第一个字符添加到末端，并使Palindrome成为内部字符串，包括上一个字符。返回那个。

public static string ConvertToPalindrome(string str) // By only adding characters at the end
    {
        if (str.Length == 1) return str; // base case 1
        if (str.Length == 2 && str[0] == str[1]) return str; // base case 2
        else
        {
            if (str[0] == str[str.Length - 1]) // keep the extremes and call                
                return str[0] + ConvertToPalindrome(str.Substring(1, str.Length - 2)) + str[str.Length - 1];
            else //Add the first character at the end and call
                return str[0] + ConvertToPalindrome(str.Substring(1, str.Length - 1)) + str[0];
        }
    }