怎么可以改变一个多项式到另一个协调的系统？

Question

使用各种矩阵数学的，我已经解决了一个方程式系统得到的在系数为多项式的程度'n'

Ax^(n-1) + Bx^(n-2) + ... + Z

然后我evaulate多项式在一定x范围内，基本上我是呈现的多项式的曲线。现在在这里抓住。我已经做了这项工作在一个协调的系统，我们就叫"数据空间"。现在，我需要本相同的曲线在另一个协调的空间。很容易转换输入/输出和协调的空间，但最终用户是唯一感兴趣的系数[A，B，....,Z]，因为他们可以重建多项对他们自己。我如何可以本的第二个设定系数的信['，B'，....,Z']其代表相同的形曲线在一个不同的坐标系统。

如果有帮助，我工作在2D空间。普通老x和y的。我也喜欢这种感觉可能涉及乘以系数通过转换矩阵吗？将它纳入一些规模/翻译的因素之间的协调的系统？它会反对这一矩阵吗？我觉得我好像在朝着正确的方向...

更新：坐标系统都是线性关系。会有有用的信息吗？

Answer 1

问题陈述有点不清楚，所以首先我要阐明自己对它的解释：

你有一个多项式函数

f（x）= C _n x ⁿ + C _n-1 x ^n-1 + ... + C ₀

[我将A，B，... Z改为C _n ，C _n-1 ，...，C ₀ 更容易使用下面的线性代数。]

然后你还有一个转变，如：＆nbsp; z = ax + b ＆nbsp;您想要用来查找相同多项式的系数，但是根据 z ：

f（z）= D _n z ⁿ + D _n-1 z ^n-1 + ... + D ₀

这可以通过一些线性代数很容易地完成。特别是，您可以定义一个（n + 1）＆＃215;（n + 1）矩阵 T ，它允许我们进行矩阵乘法

＆NBSP; d = T * c ，

其中 d 是一个列向量，顶部条目 D ₀ ，最后一个条目 D _n ，列向量 c 类似于 C _i 系数，矩阵 T 具有（ i，j）-th [i ^th row，j ^th 列]条目 t _ij 由

＆NBSP; t _ij =（ j 选择 i ） a ⁱ b ^ji 。

其中（ j 选择 i ）是二项式系数，当 i ＆gt;时= 0 Ĵ。另外，与标准矩阵不同，我认为i，j的范围从0到n（通常从1开始）。

当您手动插入z = ax + b并使用二项式定理。

Answer 2

泰勒的答案是正确的答案如果你有计算这种变化的变量z=斧+b很多次(我是说对很多不同的多项式).另一方面，如果您需要做的就只有一次，它更快地结合起来计算该系数的矩阵的最终评价。这样做的最佳方法就是象征性地评估多项式在点(斧+b)通过霍纳的方法：

• 你储了多项式系数在矢量V(在开始，所有系数为零)，并用于我=n到0，你乘以(斧+b)和加C_我.
• 加C_我 意味着将它添加到恒定的术语
• 乘以(斧+b)乘以所有系数b入一个矢量K₁, ，乘以所有系数通过，并转移他们离开的定期进一矢量K₂, 和K₁+K₂ 回到五

这将更容易程序，并更快速的计算。

注意，改变y成w=cy+d真的很容易。最后，作为mattiast指出，一般的变化的坐标将不会给你多项式。

技术说明:如果你仍然想要计算矩阵T(如定义通过泰勒)，则应当计算，它通过使用一个加权的版本Pascal的规则(这是什么霍纳算不implicitely):

t_i，j =b t_i，j-1 +一个t_i-1,j-1

这种方法，计算简单地说，柱之列，从左到右。

Answer 3

如果我正确理解了您的问题，则无法保证在更改坐标后该函数将保持多项式。例如，设y = x ^ 2，新坐标系x'= y，y'= x。现在，等式变为y'= sqrt（x'），这不是多项式。

Answer 4

你有等式：

y = Ax^(n-1) + Bx^(n-2) + ... + Z

在xy空间中，你想要它在某个x'y'空间。你需要的是变换函数f（x）= x'和g（y）= y'（或h（x'）= x和j（y'）= y）。在第一种情况下，您需要求解x并求解y。一旦得到x和y，就可以将这些结果替换为原始方程并求解y'。

这是否微不足道取决于用于从一个空间转换到另一个空间的函数的复杂性。例如，等式：

5x = x' and 10y = y'

非常容易解决结果

y' = 2Ax'^(n-1) + 2Bx'^(n-2) + ... + 10Z

Answer 5

如果输入空间是线性相关的，则是，矩阵应该能够将一组系数变换为另一组。例如，如果您的多项式位于“原始”中，的x空间：

ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d

并且您想要转换为不同的w空间，其中w = px + q

然后你想要找到'，b'，c'和d'这样

ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = a'w ^ 3 + b'w ^ 2 + c'w + d'

和一些代数，

a'w ^ 3 + b'w ^ 2 + c'w + d'= a'p ^ 3x ^ 3 + 3a'p ^ 2qx ^ 2 + 3a'pq ^ 2x + a'q ^ 3 + b'p ^ 2x ^ 2 + 2b'pqx + b'q ^ 2 + c'px + c'q + d'

因此

a = a'p ^ 3

b = 3a'p ^ 2q + b'p ^ 2

c = 3a'pq ^ 2 + 2b'pq + c'p

d = a'q ^ 3 + b'q ^ 2 + c'q + d'

可以重写为矩阵问题并解决。