组合学：构建 10 组，每组 100 个元素，同时元素保持排序

Question

我有一个关于组合学的问题。不幸的是，我无法抽象地描述它，所以我尝试用一​​个故事来解释它。:)

问题：

1. 校园里有 100 个孩子。
2. 它们都有独特的高度，假设值为 100-199 厘米。
3. 您想要建立 10 个小组，每个小组由 1-99 名儿童组成。
4. 当孩子们必须按身高排序时，如何才能建立所有的小组呢？
5. 我需要为这些群体提供所有可能的解决方案，因为找到一个星座并不难。

简短易懂：

100 个孩子全部并排站着。您只需决定在哪里将它们分组并找到所有解决方案。

示例（值为高度）：

[120 ... 190 ... 199] ... [126 ... 137 ... 144 ... 188] 不可能

[101] ... [104 ... 105 ... 112 ... 149] ... [169 ... 189] 是可能的

我希望你可以帮助我。预先非常感谢您！

附：这不是家庭作业。;）通常，我需要一个用数字来完成此操作的函数。但我无法像“在所有数字都已排序的情况下构建 k 组数字”一样抽象地描述这一点。我以为这样你就不会明白。:) PHP 中的解决方案是最好的，但我也很高兴看到其他语言的解决方案。:)

Answer 1

据我了解，您实际上是在寻求将区间 [100,199] 分为 10 个部分的方法，即您想要找到数字 x[0], ..., x[10] 使得：

x[0] = 100 < x[1] < x[2] < ... < x[9] < x[10] = 199

定义递归函数 partition(intervalSize, pieces) 它计算划分给定区间的方法数量。你在追随 partition(100, 10).

以下 Java 代码计算分区数（抱歉，不太了解 PHP）：

public class Partitions
{
    static long[][] partitions = new long[100][10];

    private static long partition(int intervalSize, int pieces)
    {
        if (partitions[intervalSize-1][pieces-1] != 0) {
            return partitions[intervalSize-1][pieces-1];
        }
        long partition = 0L;
        if (pieces == 1) {
            partition = 1L;
        } else {
            for (int i = 1; i <= intervalSize - 1; i++) {
                partition += partition(intervalSize - i, pieces - 1);
            }
        }
        partitions[intervalSize-1][pieces-1] = partition;
        return partition;
    }

    public static void main(String[] args)
    {
        System.out.println(partition(100, 10));     
    }

}

以下 Java 代码打印出实际的分区。由于 (100,10) 的分区数量非常高，因此我将说明 (5,3) 的答案：

public class Partitions2
{
    private static void showPartitions(int sizeSet, int numPartitions)
    {
        showPartitions("", 0, sizeSet, numPartitions);
    }

    private static void showPartitions(String prefix, int start, int finish,
            int numLeft)
    {
        if (numLeft == 0 && start == finish) {
            System.out.println(prefix);
        } else {
            prefix += "|";
            for (int i = start + 1; i <= finish; i++) {
                prefix += i + ",";
                showPartitions(prefix, i, finish, numLeft - 1);
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args)
    {
        showPartitions(5, 3);
    }
}

输出是：

|1,|2,|3,4,5,
|1,|2,3,|4,5,
|1,|2,3,4,|5,
|1,2,|3,|4,5,
|1,2,|3,4,|5,
|1,2,3,|4,|5,

Answer 2

我需要这些组的所有可能解决方案，因为不难找到一个星座。

一般情况下，有100个！排列 100 个项目的方法，但由于您保持顺序，因此可以缩小问题规模 实质上. 。你所描述的是一个 整数划分问题. 。例如，假设您将数字 5 划分为所有可能的整数子集，总和为 5，您将得到集合 {5}, {4, 1}, {3, 2}, {3, 1, 1 ,}, {2, 2, 1}, {2, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1}。

整数分区的数量随着整数的大小呈指数增长，但指数增长足够慢，您可以枚举 n = 100 的所有分区，因为它们只有 190,569,292 个。这里的附加约束是，您希望过滤所有分区以获取恰好包含 10 个项目的集合，这可以通过使用 Ferrer 图轻松枚举。

我可以通过将数字 20 分为 3 个桶来演示费雷尔图：从 20 列 x 3 行网格开始，如下所示：

 12345678901234567890
1******************
2*
3*

所以，第一个分区是 {18, 1, 1}

现在将一个项目从堆栈顶部移动到下一个插槽中：

 12345678901234567890
1*****************
2**
3*

我们的新分区是{17,2,1}。我们可以将另一项从一个堆栈移到另一个堆栈：

 12345678901234567890
1****************
2***
3*

现在我们有 {16, 3, 1}。继续以这种方式，直到枚举完所有排列（由您决定 {17, 1, 2} 是否是与 {17, 2, 1} 不同的分区）。

从这一点来看，您应该能够设想所需算法的总体轮廓 - 也就是说，如果您愿意接受从头开始编写此函数的挑战。其他人已经 编写了很多高效的函数 轻松解决问题。