在矩阵/位图中查找质量簇
https://stackoverflow.com/questions/411837
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03-07-2019 - |
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这是此处发布的问题的延续：在 2D 位图上查找质心 正如给出的例子，它讨论了在布尔矩阵中寻找质心。
假设现在我们将矩阵展开为以下形式：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 . X X . . . . . .
2 . X X X . . X . .
3 . . . . . X X X .
4 . . . . . . X . .
5 . X X . . . . . .
6 . X . . . . . . .
7 . X . . . . . . .
8 . . . . X X . . .
9 . . . . X X . . .
正如您所看到的，我们现在有 4 个质心，分别对应 4 个不同的簇。
我们已经知道如何找到质心，因为只有一个质心存在，如果我们在这个矩阵上运行该算法，我们将得到矩阵中间的某个点，这对我们没有帮助。
什么是一个好的、正确的、快速的算法来找到这些质量簇？
解决方案
我想我会检查矩阵中的每个点，并根据它的邻居计算它的质量。点数的质量会随着距离的平方而下降。然后，您可以选择彼此距离最小的前四个点。
这里有一些我编写的Python代码，试图说明找出每个点的质量的方法。使用示例矩阵进行一些设置：
matrix = [[1.0 if x == "X" else 0.0 for x in y] for y in """.XX......
.XXX..X..
.....XXX.
......X..
.XX......
.X.......
.X.......
....XX...
....XX...""".split("\n")]
HEIGHT = len(matrix)
WIDTH = len(matrix[0])
Y_RADIUS = HEIGHT / 2
X_RADIUS = WIDTH / 2
计算给定点的质量：
def distance(x1, y1, x2, y2):
'Manhattan distance http://en.wikipedia.org/wiki/Manhattan_distance'
return abs(y1 - y2) + abs(x1 - x2)
def mass(m, x, y):
_mass = m[y][x]
for _y in range(max(0, y - Y_RADIUS), min(HEIGHT, y + Y_RADIUS)):
for _x in range(max(0, x - X_RADIUS), min(WIDTH, x + X_RADIUS)):
d = max(1, distance(x, y, _x, _y))
_mass += m[_y][_x] / (d * d)
return _mass
注意：我在这里使用曼哈顿距离（又名Cityblock，又名Taxicab Geometry）因为我不认为使用欧几里德距离增加的准确性值得调用sqrt（）的成本。
迭代我们的矩阵并建立一个元组列表，如（x，y，mass（x，y））：
point_mass = []
for y in range(0, HEIGHT):
for x in range(0, WIDTH):
point_mass.append((x, y, mass(matrix, x, y)))
对每个点的质量列表进行排序：
from operator import itemgetter
point_mass.sort(key=itemgetter(2), reverse=True)
查看排序列表中的前9个点：
(6, 2, 6.1580555555555554)
(2, 1, 5.4861111111111107)
(1, 1, 4.6736111111111107)
(1, 4, 4.5938888888888885)
(2, 0, 4.54)
(4, 7, 4.4480555555555554)
(1, 5, 4.4480555555555554)
(5, 7, 4.4059637188208614)
(4, 8, 4.3659637188208613)
如果我们从最高到最低工作并过滤掉那些与我们已经看到的点太接近的点，我们会得到（我正在手动完成它，因为我现在已经没时间在代码中执行它了。 。）：
(6, 2, 6.1580555555555554)
(2, 1, 5.4861111111111107)
(1, 4, 4.5938888888888885)
(4, 7, 4.4480555555555554)
只需查看矩阵，这是非常直观的结果（请注意，与您的示例进行比较时坐标为零）。
其他提示
你需要一个聚类算法，这很简单，因为你只有一个2维网格，并且这些条目相互接近。您只需使用 Floodfill算法即可。拥有每个群集后，您可以在中找到该中心二维质量中心文章。。
这里是一个类似的问题，算法不是那么快，还有几个其他更好的方法。
我的第一个想法是首先找到任何具有非零值的单元格。从那里进行一些洪水填充算法，并计算找到的细胞的质心。接下来，将矩阵中找到的单元格清零，然后从顶部重新开始。
这当然不会像 Tuinstoel 链接的 Google 方法那样扩展，但对于较小的矩阵来说更容易实现。
编辑：
不相交集 （使用路径压缩和按等级联合）在这里可能很有用。他们有 氧(α(n)) 并集和查找集的时间复杂度，其中
α(n) = 分钟 { k :Ak(1) ≥ n }.
Ak(n) 是阿克曼函数，所以 α(n）本质上将是 氧(1) 任何合理的值。唯一的问题是，不相交的集合是项目到集合的单向映射，但如果您要遍历所有项目，这并不重要。
这是一个简单的 python 脚本用于演示：
from collections import defaultdict
class DisjointSets(object):
def __init__(self):
self.item_map = defaultdict(DisjointNode)
def add(self,item):
"""Add item to the forest."""
# It's gets initialized to a new node when
# trying to access a non-existant item.
return self.item_map[item]
def __contains__(self,item):
return (item in self.item_map)
def __getitem__(self,item):
if item not in self:
raise KeyError
return self.item_map[item]
def __delitem__(self,item):
del self.item_map[item]
def __iter__(self):
# sort all items into real sets
all_sets = defaultdict(set)
for item,node in self.item_map.iteritems():
all_sets[node.find_set()].add(item)
return all_sets.itervalues()
class DisjointNode(object):
def __init__(self,parent=None,rank=0):
if parent is None:
self.parent = self
else:
self.parent = parent
self.rank = rank
def union(self,other):
"""Join two sets."""
node1 = self.find_set()
node2 = other.find_set()
# union by rank
if node1.rank > node2.rank:
node2.parent = node1
else:
node1.parent = node2
if node1.rank == node2.rank:
node2.rank += 1
return node1
def find_set(self):
"""Finds the root node of this set."""
node = self
while node is not node.parent:
node = node.parent
# path compression
root, node = node, self
while node is not node.parent:
node, node.parent = node.parent, root
return root
def find_clusters(grid):
disj = DisjointSets()
for y,row in enumerate(grid):
for x,cell in enumerate(row):
if cell:
node = disj.add((x,y))
for dx,dy in ((-1,0),(-1,-1),(0,-1),(1,-1)):
if (x+dx,y+dy) in disj:
node.union(disj[x+dx,y+dy])
for index,set_ in enumerate(disj):
sum_x, sum_y, count = 0, 0, 0
for x,y in set_:
sum_x += x
sum_y += y
count += 1
yield 1.0 * sum_x / count, 1.0 * sum_y / count
def main():
grid = [[('.' != cell) for cell in row if not cell.isspace()] for row in (
". X X . . . . . .",
". X X X . . X . .",
". . . . . X X X .",
". . . . . . X . .",
". X X . . . . . .",
". X . . . . . . .",
". X . . . . . . .",
". . . . X X . . .",
". . . . X X . . .",
)]
coordinates = list(find_clusters(grid))
centers = dict(((round(x),round(y)),i) for i,(x,y) in enumerate(coordinates))
for y,row in enumerate(grid):
for x,cell in enumerate(row):
if (x,y) in centers:
print centers[x,y]+1,
elif cell:
print 'X',
else:
print '.',
print
print
print '%4s | %7s %7s' % ('i','x','y')
print '-'*22
for i,(x,y) in enumerate(coordinates):
print '%4d | %7.4f %7.4f' % (i+1,x,y)
if __name__ == '__main__':
main()
输出：
. X X . . . . . .
. X 3 X . . X . .
. . . . . X 4 X .
. . . . . . X . .
. X X . . . . . .
. 2 . . . . . . .
. X . . . . . . .
. . . . X X . . .
. . . . X 1 . . .
i | x y
----------------------
1 | 4.5000 7.5000
2 | 1.2500 4.7500
3 | 1.8000 0.6000
4 | 6.0000 2.0000
这样做的目的是为了证明不相交的集合。实际算法在 find_clusters() 可以升级到更强大的东西。
参考
- 算法简介。 第二版。科门等人。
