是否有一种简单的方法来反转三角形（上部或下部）矩阵？

Question

我正在尝试实现一些基本的线性代数运算，其中一个运算是三角形（上部和/或下部）矩阵的反演。有没有一个简单而稳定的算法呢？

谢谢。

Answer 1

是的，请使用返回替换。反转矩阵的标准算法是找到它的LU分解（分解成下三角形和上三角矩阵），在三角形片上使用反向替换，然后组合结果以获得原始矩阵的逆。

Answer 2

如果可以的话，不要颠倒它。这是数值线性代数的基本诫命之一。

将矩阵L本身保留在内存中，并且只要你需要用inv（L）做其他事情就用后向替换来计算

inv(L)b

，速度和数值更稳定。

请注意，用于反转它的惯用算法需要求解系统

inv(L)[1 0 0 ...],
inv(L)[0 1 0 ....],
inv(L)[0 0 1 ....]

等等，因此您可以更容易地反转它。

Answer 3

给定较低的三角矩阵L，backsubstitution允许您解决系统 L x = b 快速为任何右手b。

要反转L，您可以为右侧求解此系统e1 =（1,0，...，0），e2 =（0,1，...，0），...，en =（0,0，...，1）并将得到的解向量组合成单个（必须是低三角形）矩阵。

如果你对封闭形式的解决方案感兴趣，那么逆的对角线元素是原始对角线元素的逆，当你离开时，逆的其余元素的公式变得越来越复杂从对角线。

Answer 4

如果您正在讨论单精度实数，请查看LAPACK例程的源代码 STRTRI 和 STRTI2 。

Answer 5

哇，这几乎是数值分析课程的一半内容。标准算法会做到这一点，并且有一堆固定代码这里 。这个以及大多数其他常见数值分析问题的最终来源是 Numerical Recipes 。