如何在O（n）中找到长度为n的未排序数组中的第k个最大元素？
https://stackoverflow.com/questions/251781
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05-07-2019 - |
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我相信有一种方法可以在O（n）中找到长度为n的未排序数组中的第k个最大元素。或许它是<！>“;预期<！>”; O（n）或其他什么。我们怎么做呢？
解决方案
这称为查找第k顺序统计。有一个非常简单的随机算法（称为 quickselect ），它采用O(n)平均时间，O(n^2)最坏情况时间，以及一个非常复杂的非随机算法（称为 introselect ）采取<=>最坏的情况时间。有关维基百科的一些信息，但它不是很好。
您需要的一切都在这些powerpoint幻灯片 。只是为了提取<=>最坏情况算法（introselect）的基本算法：
Select(A,n,i):
Divide input into ⌈n/5⌉ groups of size 5.
/* Partition on median-of-medians */
medians = array of each group’s median.
pivot = Select(medians, ⌈n/5⌉, ⌈n/10⌉)
Left Array L and Right Array G = partition(A, pivot)
/* Find ith element in L, pivot, or G */
k = |L| + 1
If i = k, return pivot
If i < k, return Select(L, k-1, i)
If i > k, return Select(G, n-k, i-k)
Cormen等人的“算法导论”一书中也详细介绍了
其他提示
如果你想要一个真正的O(n)算法，而不是O(kn)或类似的东西，那么你应该使用quickselect（它基本上是快速排序，你扔掉你不感兴趣的分区）。我的教授有一个很好的写作，运行时分析：（参考）
QuickSelect算法可快速找到未排序的n元素数组的第k个最小元素。它是 RandomizedAlgorithm ，因此我们计算最坏情况预期运行时间。
这是算法。
QuickSelect(A, k)
let r be chosen uniformly at random in the range 1 to length(A)
let pivot = A[r]
let A1, A2 be new arrays
# split into a pile A1 of small elements and A2 of big elements
for i = 1 to n
if A[i] < pivot then
append A[i] to A1
else if A[i] > pivot then
append A[i] to A2
else
# do nothing
end for
if k <= length(A1):
# it's in the pile of small elements
return QuickSelect(A1, k)
else if k > length(A) - length(A2)
# it's in the pile of big elements
return QuickSelect(A2, k - (length(A) - length(A2))
else
# it's equal to the pivot
return pivot
此算法的运行时间是多少？如果对手为我们翻转硬币，我们可能会发现枢轴始终是最大的元素，k始终为1，运行时间为
T(n) = Theta(n) + T(n-1) = Theta(n2)但如果选择确实是随机的，那么预期的运行时间由
给出T(n) <= Theta(n) + (1/n) ∑i=1 to nT(max(i, n-i-1))我们在做出不完全合理的假设，即递归始终位于A1或A2的较大位置。
让我们为某些T(n) <= an猜测a。然后我们得到
T(n)
<= cn + (1/n) ∑i=1 to nT(max(i-1, n-i))
= cn + (1/n) ∑i=1 to floor(n/2) T(n-i) + (1/n) ∑i=floor(n/2)+1 to n T(i)
<= cn + 2 (1/n) ∑i=floor(n/2) to n T(i)
<= cn + 2 (1/n) ∑i=floor(n/2) to n ai现在不知何故，我们必须在加号的右侧获得可怕的总和以吸收左侧的cn。如果我们将它绑定为2(1/n) ∑i=n/2 to n an，我们会大致2(1/n)(n/2)an = an。但这太大了 - 没有空间可以挤出额外的floor(n/2)。因此，让我们使用算术系列公式扩展总和：
∑i=floor(n/2) to n i
= ∑i=1 to n i - ∑i=1 to floor(n/2) i
= n(n+1)/2 - floor(n/2)(floor(n/2)+1)/2
<= n2/2 - (n/4)2/2
= (15/32)n2我们利用n <！>“足够大<！>”;用更清洁（和更小）的n/4替换丑陋的a > 16c因素。现在我们可以继续
cn + 2 (1/n) ∑i=floor(n/2) to n ai,
<= cn + (2a/n) (15/32) n2
= n (c + (15/16)a)
<= an提供T(n) = O(n)。
这给出了Omega(n)。它显然是T(n) = Theta(n)，所以我们得到<=>。
快速谷歌（第k个最大的元素数组）返回了这个： http://discuss.joelonsoftware.com/default.asp?interview.11.509587.17
"Make one pass through tracking the three largest values so far."
（特别是最大的3d）
和这个答案：
Build a heap/priority queue. O(n)
Pop top element. O(log n)
Pop top element. O(log n)
Pop top element. O(log n)
Total = O(n) + 3 O(log n) = O(n)
你喜欢quicksort。随机选择一个元素并将所有内容推得更高或更低。此时你将知道你实际选择了哪个元素，如果它是你完成的第k个元素，否则你重复使用bin（更高或更低），第k个元素将落入。统计上讲，时间找到第k个元素随n，O（n）增长。
C ++标准库几乎完全与功能调用
nth_element ，虽然它确实修改了你的数据。它预计线性运行时间为O（N），它也会进行部分排序。const int N = ...;
double a[N];
// ...
const int m = ...; // m < N
nth_element (a, a + m, a + N);
// a[m] contains the mth element in a
虽然不太确定O（n）复杂度，但肯定会在O（n）和nLog（n）之间。也确定比nLog（n）更接近O（n）。函数用Java编写
public int quickSelect(ArrayList<Integer>list, int nthSmallest){
//Choose random number in range of 0 to array length
Random random = new Random();
//This will give random number which is not greater than length - 1
int pivotIndex = random.nextInt(list.size() - 1);
int pivot = list.get(pivotIndex);
ArrayList<Integer> smallerNumberList = new ArrayList<Integer>();
ArrayList<Integer> greaterNumberList = new ArrayList<Integer>();
//Split list into two.
//Value smaller than pivot should go to smallerNumberList
//Value greater than pivot should go to greaterNumberList
//Do nothing for value which is equal to pivot
for(int i=0; i<list.size(); i++){
if(list.get(i)<pivot){
smallerNumberList.add(list.get(i));
}
else if(list.get(i)>pivot){
greaterNumberList.add(list.get(i));
}
else{
//Do nothing
}
}
//If smallerNumberList size is greater than nthSmallest value, nthSmallest number must be in this list
if(nthSmallest < smallerNumberList.size()){
return quickSelect(smallerNumberList, nthSmallest);
}
//If nthSmallest is greater than [ list.size() - greaterNumberList.size() ], nthSmallest number must be in this list
//The step is bit tricky. If confusing, please see the above loop once again for clarification.
else if(nthSmallest > (list.size() - greaterNumberList.size())){
//nthSmallest will have to be changed here. [ list.size() - greaterNumberList.size() ] elements are already in
//smallerNumberList
nthSmallest = nthSmallest - (list.size() - greaterNumberList.size());
return quickSelect(greaterNumberList,nthSmallest);
}
else{
return pivot;
}
}
我使用动态编程，特别是锦标赛方法，在n个未排序元素中实现了kth最小值。执行时间是O（n + klog（n））。使用的机制被列为维基百科页面上关于选择算法的方法之一（如上面的一个帖子中所示）。您可以在我的博客页面上阅读有关该算法的信息并找到代码（java）找到Kth最小值。此外，逻辑可以对列表进行部分排序 - 在O（klog（n））时间内返回第一个K min（或最大值）。
虽然提供的代码结果为kth minimum，但是可以使用类似的逻辑来找出O（klog（n））中的第k个最大值，忽略了创建锦标赛树所做的前期工作。
你可以在O（n + kn）= O（n）（对于常数k）表示时间，O（k）表示空间，通过跟踪你看到的k个最大元素。
对于数组中的每个元素，您可以扫描k最大的列表，如果它更大，则用新的元素替换最小的元素。
Warren的优先堆解决方案虽然简洁。
Python中的性感quickselect
def quickselect(arr, k):
'''
k = 1 returns first element in ascending order.
can be easily modified to return first element in descending order
'''
r = random.randrange(0, len(arr))
a1 = [i for i in arr if i < arr[r]] '''partition'''
a2 = [i for i in arr if i > arr[r]]
if k <= len(a1):
return quickselect(a1, k)
elif k > len(arr)-len(a2):
return quickselect(a2, k - (len(arr) - len(a2)))
else:
return arr[r]
在线性时间内找到数组的中位数，然后使用与快速排序完全相同的分区过程将数组分成两部分，中位数较小（<！> lt;）左边的值比中位数和右边大于（<！> gt;）中位数，也可以在行间时间内完成，现在，转到第k个元素所在的数组部分， 现在复发成为： T（n）= T（n / 2）+ cn 这给了我一些O（n）。
以下是完整实现的链接，其中详细解释了如何在未排序算法中查找Kth元素的算法。基本思想是像QuickSort一样对数组进行分区。但是为了避免极端情况（例如，当在每个步骤中选择最小元素作为枢轴，使得算法退化为O（n ^ 2）运行时间）时，应用特殊的枢轴选择，称为中位数算法。整个解决方案在最差和平均情况下在O（n）时间内运行。
以下是完整文章的链接（它是关于找到Kth 最小元素，但找到Kth 最大的原理相同）：
根据本文在n个项目列表中查找第K个最大项目在最坏的情况下，以下算法将花费O(n)时间。
- 将数组分为5个元素的n / 5个列表。
- 在5个元素的每个子数组中找到中位数。
- 递归<！>＃64257; nd所有中位数的中位数，让我们称之为M
- 将数组分区为两个子数组第一个子数组包含大于M的元素，假设这个子数组是a1，而其他子数组包含的元素小于M.，让我们调用这个子数组A2。
- 如果k <！> lt; = | a1 |，则返回选择（a1，k）。
- 如果k <！>＃8722; 1 = | a1 |，返回M。
- 如果k <！> gt; | A1 | + 1，返回选择（a2，k <！>＃8722; a1 <！>＃8722; 1）。
分析：正如原始论文所述：
我们使用中位数将列表分成两半（上半部分， if
k <= n/2，否则下半场）。这个算法需要 时间cn在第一级递归中为某些常量c，cn/2at 下一级（因为我们在一个大小为n / 2的列表中递归），cn/4在 第三级，依此类推。所用的总时间是cn + cn/2 + cn/4 + .... = 2cn = o(n)。
为什么分区大小是5而不是3？
如原始论文中所述：
将列表除以5可确保最坏情况下的分割为70 <！>＃8722; 30.至少 一半的中位数大于中位数的中位数，因此至少 n / 5块中的一半具有至少3个元素，这给出了一个
3n/10拆分，这意味着在最坏的情况下，其他分区是7n / 10。 这给了T(n) = T(n/5)+T(7n/10)+O(n). Since n/5+7n/10 < 1， 最坏情况下的运行时间是O(nlogn)。
现在我尝试将上述算法实现为：
public static int findKthLargestUsingMedian(Integer[] array, int k) {
// Step 1: Divide the list into n/5 lists of 5 element each.
int noOfRequiredLists = (int) Math.ceil(array.length / 5.0);
// Step 2: Find pivotal element aka median of medians.
int medianOfMedian = findMedianOfMedians(array, noOfRequiredLists);
//Now we need two lists split using medianOfMedian as pivot. All elements in list listOne will be grater than medianOfMedian and listTwo will have elements lesser than medianOfMedian.
List<Integer> listWithGreaterNumbers = new ArrayList<>(); // elements greater than medianOfMedian
List<Integer> listWithSmallerNumbers = new ArrayList<>(); // elements less than medianOfMedian
for (Integer element : array) {
if (element < medianOfMedian) {
listWithSmallerNumbers.add(element);
} else if (element > medianOfMedian) {
listWithGreaterNumbers.add(element);
}
}
// Next step.
if (k <= listWithGreaterNumbers.size()) return findKthLargestUsingMedian((Integer[]) listWithGreaterNumbers.toArray(new Integer[listWithGreaterNumbers.size()]), k);
else if ((k - 1) == listWithGreaterNumbers.size()) return medianOfMedian;
else if (k > (listWithGreaterNumbers.size() + 1)) return findKthLargestUsingMedian((Integer[]) listWithSmallerNumbers.toArray(new Integer[listWithSmallerNumbers.size()]), k-listWithGreaterNumbers.size()-1);
return -1;
}
public static int findMedianOfMedians(Integer[] mainList, int noOfRequiredLists) {
int[] medians = new int[noOfRequiredLists];
for (int count = 0; count < noOfRequiredLists; count++) {
int startOfPartialArray = 5 * count;
int endOfPartialArray = startOfPartialArray + 5;
Integer[] partialArray = Arrays.copyOfRange((Integer[]) mainList, startOfPartialArray, endOfPartialArray);
// Step 2: Find median of each of these sublists.
int medianIndex = partialArray.length/2;
medians[count] = partialArray[medianIndex];
}
// Step 3: Find median of the medians.
return medians[medians.length / 2];
}
为了完成，另一种算法使用优先级队列并花费时间18
18。
public static int findKthLargestUsingPriorityQueue(Integer[] nums, int k) {
int p = 0;
int numElements = nums.length;
// create priority queue where all the elements of nums will be stored
PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<Integer>();
// place all the elements of the array to this priority queue
for (int n : nums) {
pq.add(n);
}
// extract the kth largest element
while (numElements - k + 1 > 0) {
p = pq.poll();
k++;
}
return p;
}
这两种算法都可以测试为：
public static void main(String[] args) throws IOException {
Integer[] numbers = new Integer[]{2, 3, 5, 4, 1, 12, 11, 13, 16, 7, 8, 6, 10, 9, 17, 15, 19, 20, 18, 23, 21, 22, 25, 24, 14};
System.out.println(findKthLargestUsingMedian(numbers, 8));
System.out.println(findKthLargestUsingPriorityQueue(numbers, 8));
}
正如预期的输出是： <=>
这种方法怎么样
保持buffer of length k和tmp_max，让tmp_max为O（k），并且完成n次，所以O(kn)
是对还是我错过了什么？
虽然它没有超过quickselect的平均情况和中位数统计方法的最坏情况，但它很容易理解和实现。
遍历列表。如果当前值大于存储的最大值，则将其存储为最大值，然后将1-4降低并从列表中删除5滴。如果没有，将它与数字2进行比较并做同样的事情。重复，检查所有5个存储的值。这应该在O（n）
中完成我想建议一个答案
如果我们采用前k个元素并将它们排序为k值的链表
现在对于每个其他值，即使对于最坏的情况，如果我们对剩余nk值进行插入排序，即使在最坏的情况下，比较的数量将是k *（nk）并且对于要排序的prev k值，使其为k * （k-1）所以它是（nk-k），它是o（n）
欢呼可以在此处找到中位数 - 中位数算法以找出n中第k个最大整数的说明： http://cs.indstate.edu/~spitla/presentation.pdf
c ++中的实现如下：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int findMedian(vector<int> vec){
// Find median of a vector
int median;
size_t size = vec.size();
median = vec[(size/2)];
return median;
}
int findMedianOfMedians(vector<vector<int> > values){
vector<int> medians;
for (int i = 0; i < values.size(); i++) {
int m = findMedian(values[i]);
medians.push_back(m);
}
return findMedian(medians);
}
void selectionByMedianOfMedians(const vector<int> values, int k){
// Divide the list into n/5 lists of 5 elements each
vector<vector<int> > vec2D;
int count = 0;
while (count != values.size()) {
int countRow = 0;
vector<int> row;
while ((countRow < 5) && (count < values.size())) {
row.push_back(values[count]);
count++;
countRow++;
}
vec2D.push_back(row);
}
cout<<endl<<endl<<"Printing 2D vector : "<<endl;
for (int i = 0; i < vec2D.size(); i++) {
for (int j = 0; j < vec2D[i].size(); j++) {
cout<<vec2D[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
cout<<endl;
// Calculating a new pivot for making splits
int m = findMedianOfMedians(vec2D);
cout<<"Median of medians is : "<<m<<endl;
// Partition the list into unique elements larger than 'm' (call this sublist L1) and
// those smaller them 'm' (call this sublist L2)
vector<int> L1, L2;
for (int i = 0; i < vec2D.size(); i++) {
for (int j = 0; j < vec2D[i].size(); j++) {
if (vec2D[i][j] > m) {
L1.push_back(vec2D[i][j]);
}else if (vec2D[i][j] < m){
L2.push_back(vec2D[i][j]);
}
}
}
// Checking the splits as per the new pivot 'm'
cout<<endl<<"Printing L1 : "<<endl;
for (int i = 0; i < L1.size(); i++) {
cout<<L1[i]<<" ";
}
cout<<endl<<endl<<"Printing L2 : "<<endl;
for (int i = 0; i < L2.size(); i++) {
cout<<L2[i]<<" ";
}
// Recursive calls
if ((k - 1) == L1.size()) {
cout<<endl<<endl<<"Answer :"<<m;
}else if (k <= L1.size()) {
return selectionByMedianOfMedians(L1, k);
}else if (k > (L1.size() + 1)){
return selectionByMedianOfMedians(L2, k-((int)L1.size())-1);
}
}
int main()
{
int values[] = {2, 3, 5, 4, 1, 12, 11, 13, 16, 7, 8, 6, 10, 9, 17, 15, 19, 20, 18, 23, 21, 22, 25, 24, 14};
vector<int> vec(values, values + 25);
cout<<"The given array is : "<<endl;
for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {
cout<<vec[i]<<" ";
}
selectionByMedianOfMedians(vec, 8);
return 0;
}
还有 Wirth的选择算法，其中具有比QuickSelect更简单的实现。 Wirth的选择算法比QuickSelect慢，但是通过一些改进它会变得更快。
更详细。使用Vladimir Zabrodsky的MODIFIND优化和3个中心枢轴选择并关注算法分区部分的最后步骤，我提出了以下算法（可以想象地命名为<！>“LefSelect <！ > QUOT）：
#define F_SWAP(a,b) { float temp=(a);(a)=(b);(b)=temp; }
# Note: The code needs more than 2 elements to work
float lefselect(float a[], const int n, const int k) {
int l=0, m = n-1, i=l, j=m;
float x;
while (l<m) {
if( a[k] < a[i] ) F_SWAP(a[i],a[k]);
if( a[j] < a[i] ) F_SWAP(a[i],a[j]);
if( a[j] < a[k] ) F_SWAP(a[k],a[j]);
x=a[k];
while (j>k & i<k) {
do i++; while (a[i]<x);
do j--; while (a[j]>x);
F_SWAP(a[i],a[j]);
}
i++; j--;
if (j<k) {
while (a[i]<x) i++;
l=i; j=m;
}
if (k<i) {
while (x<a[j]) j--;
m=j; i=l;
}
}
return a[k];
}
在此处的基准测试中，LefSelect为20-30比QuickSelect快％。
Haskell解决方案：
kthElem index list = sort list !! index
withShape ~[] [] = []
withShape ~(x:xs) (y:ys) = x : withShape xs ys
sort [] = []
sort (x:xs) = (sort ls `withShape` ls) ++ [x] ++ (sort rs `withShape` rs)
where
ls = filter (< x)
rs = filter (>= x)
通过使用withShape方法发现分区的大小而不实际计算它，实现了中值解的中值。
这是Randomized QuickSelect的C ++实现。我们的想法是随机选择一个枢轴元素。为了实现随机分区，我们使用随机函数rand（）来生成l和r之间的索引，将随机生成的索引处的元素与最后一个元素交换，最后调用使用last元素作为pivot的标准分区进程。
#include<iostream>
#include<climits>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int randomPartition(int arr[], int l, int r);
// This function returns k'th smallest element in arr[l..r] using
// QuickSort based method. ASSUMPTION: ALL ELEMENTS IN ARR[] ARE DISTINCT
int kthSmallest(int arr[], int l, int r, int k)
{
// If k is smaller than number of elements in array
if (k > 0 && k <= r - l + 1)
{
// Partition the array around a random element and
// get position of pivot element in sorted array
int pos = randomPartition(arr, l, r);
// If position is same as k
if (pos-l == k-1)
return arr[pos];
if (pos-l > k-1) // If position is more, recur for left subarray
return kthSmallest(arr, l, pos-1, k);
// Else recur for right subarray
return kthSmallest(arr, pos+1, r, k-pos+l-1);
}
// If k is more than number of elements in array
return INT_MAX;
}
void swap(int *a, int *b)
{
int temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
// Standard partition process of QuickSort(). It considers the last
// element as pivot and moves all smaller element to left of it and
// greater elements to right. This function is used by randomPartition()
int partition(int arr[], int l, int r)
{
int x = arr[r], i = l;
for (int j = l; j <= r - 1; j++)
{
if (arr[j] <= x) //arr[i] is bigger than arr[j] so swap them
{
swap(&arr[i], &arr[j]);
i++;
}
}
swap(&arr[i], &arr[r]); // swap the pivot
return i;
}
// Picks a random pivot element between l and r and partitions
// arr[l..r] around the randomly picked element using partition()
int randomPartition(int arr[], int l, int r)
{
int n = r-l+1;
int pivot = rand() % n;
swap(&arr[l + pivot], &arr[r]);
return partition(arr, l, r);
}
// Driver program to test above methods
int main()
{
int arr[] = {12, 3, 5, 7, 4, 19, 26};
int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]), k = 3;
cout << "K'th smallest element is " << kthSmallest(arr, 0, n-1, k);
return 0;
}
上述解决方案的最坏情况时间复杂度仍然是O（n2）。在最坏的情况下，随机函数可能总是选择角元素。上述随机化QuickSelect的预期时间复杂度为<！>＃920;（n）
- 已创建优先级队列。
- 将所有元素插入堆中。
-
调用poll（）k次。
public static int getKthLargestElements(int[] arr) { PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>((x , y) -> (y-x)); //insert all the elements into heap for(int ele : arr) pq.offer(ele); // call poll() k times int i=0; while(i<k) { int result = pq.poll(); } return result; }
这是Javascript中的一个实现。
如果释放无法修改数组的约束，则可以使用两个索引来阻止使用额外内存来识别<！> quot;当前分区<！> （采用经典的快速风格 - http：// www.nczonline.net/blog/2012/11/27/computer-science-in-javascript-quicksort/ ）。
function kthMax(a, k){
var size = a.length;
var pivot = a[ parseInt(Math.random()*size) ]; //Another choice could have been (size / 2)
//Create an array with all element lower than the pivot and an array with all element higher than the pivot
var i, lowerArray = [], upperArray = [];
for (i = 0; i < size; i++){
var current = a[i];
if (current < pivot) {
lowerArray.push(current);
} else if (current > pivot) {
upperArray.push(current);
}
}
//Which one should I continue with?
if(k <= upperArray.length) {
//Upper
return kthMax(upperArray, k);
} else {
var newK = k - (size - lowerArray.length);
if (newK > 0) {
///Lower
return kthMax(lowerArray, newK);
} else {
//None ... it's the current pivot!
return pivot;
}
}
}
如果您想测试其效果，可以使用以下变体：
function kthMax (a, k, logging) {
var comparisonCount = 0; //Number of comparison that the algorithm uses
var memoryCount = 0; //Number of integers in memory that the algorithm uses
var _log = logging;
if(k < 0 || k >= a.length) {
if (_log) console.log ("k is out of range");
return false;
}
function _kthmax(a, k){
var size = a.length;
var pivot = a[parseInt(Math.random()*size)];
if(_log) console.log("Inputs:", a, "size="+size, "k="+k, "pivot="+pivot);
// This should never happen. Just a nice check in this exercise
// if you are playing with the code to avoid never ending recursion
if(typeof pivot === "undefined") {
if (_log) console.log ("Ops...");
return false;
}
var i, lowerArray = [], upperArray = [];
for (i = 0; i < size; i++){
var current = a[i];
if (current < pivot) {
comparisonCount += 1;
memoryCount++;
lowerArray.push(current);
} else if (current > pivot) {
comparisonCount += 2;
memoryCount++;
upperArray.push(current);
}
}
if(_log) console.log("Pivoting:",lowerArray, "*"+pivot+"*", upperArray);
if(k <= upperArray.length) {
comparisonCount += 1;
return _kthmax(upperArray, k);
} else if (k > size - lowerArray.length) {
comparisonCount += 2;
return _kthmax(lowerArray, k - (size - lowerArray.length));
} else {
comparisonCount += 2;
return pivot;
}
/*
* BTW, this is the logic for kthMin if we want to implement that... ;-)
*
if(k <= lowerArray.length) {
return kthMin(lowerArray, k);
} else if (k > size - upperArray.length) {
return kthMin(upperArray, k - (size - upperArray.length));
} else
return pivot;
*/
}
var result = _kthmax(a, k);
return {result: result, iterations: comparisonCount, memory: memoryCount};
}
剩下的代码就是创建一些游乐场：
function getRandomArray (n){
var ar = [];
for (var i = 0, l = n; i < l; i++) {
ar.push(Math.round(Math.random() * l))
}
return ar;
}
//Create a random array of 50 numbers
var ar = getRandomArray (50);
现在，运行一下你的测试。 由于Math.random（），每次都会产生不同的结果：
kthMax(ar, 2, true);
kthMax(ar, 2);
kthMax(ar, 2);
kthMax(ar, 2);
kthMax(ar, 2);
kthMax(ar, 2);
kthMax(ar, 34, true);
kthMax(ar, 34);
kthMax(ar, 34);
kthMax(ar, 34);
kthMax(ar, 34);
kthMax(ar, 34);
如果你测试几次，你甚至可以凭经验看到迭代次数平均为O（n）〜=常数* n，而k的值不会影响算法。
我想出了这个算法，似乎是O（n）：
假设k = 3，我们想找到数组中的第三大项。我将创建三个变量，并将数组的每个项目与这三个变量中的最小值进行比较。如果数组项大于最小值，我们将使用项值替换min变量。我们继续相同的事情直到阵列结束。我们的三个变量中的最小值是数组中的第三大项。
define variables a=0, b=0, c=0
iterate through the array items
find minimum a,b,c
if item > min then replace the min variable with item value
continue until end of array
the minimum of a,b,c is our answer
而且，要找到第K个最大的项目，我们需要K个变量。
示例：（k = 3）
[1,2,4,1,7,3,9,5,6,2,9,8]
Final variable values:
a=7 (answer)
b=8
c=9
有人可以回顾一下，让我知道我错过了什么吗？
这里是建议的算法eladv的实现（我也在这里用随机数据透露实现）：
public class Median {
public static void main(String[] s) {
int[] test = {4,18,20,3,7,13,5,8,2,1,15,17,25,30,16};
System.out.println(selectK(test,8));
/*
int n = 100000000;
int[] test = new int[n];
for(int i=0; i<test.length; i++)
test[i] = (int)(Math.random()*test.length);
long start = System.currentTimeMillis();
random_selectK(test, test.length/2);
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println(end - start);
*/
}
public static int random_selectK(int[] a, int k) {
if(a.length <= 1)
return a[0];
int r = (int)(Math.random() * a.length);
int p = a[r];
int small = 0, equal = 0, big = 0;
for(int i=0; i<a.length; i++) {
if(a[i] < p) small++;
else if(a[i] == p) equal++;
else if(a[i] > p) big++;
}
if(k <= small) {
int[] temp = new int[small];
for(int i=0, j=0; i<a.length; i++)
if(a[i] < p)
temp[j++] = a[i];
return random_selectK(temp, k);
}
else if (k <= small+equal)
return p;
else {
int[] temp = new int[big];
for(int i=0, j=0; i<a.length; i++)
if(a[i] > p)
temp[j++] = a[i];
return random_selectK(temp,k-small-equal);
}
}
public static int selectK(int[] a, int k) {
if(a.length <= 5) {
Arrays.sort(a);
return a[k-1];
}
int p = median_of_medians(a);
int small = 0, equal = 0, big = 0;
for(int i=0; i<a.length; i++) {
if(a[i] < p) small++;
else if(a[i] == p) equal++;
else if(a[i] > p) big++;
}
if(k <= small) {
int[] temp = new int[small];
for(int i=0, j=0; i<a.length; i++)
if(a[i] < p)
temp[j++] = a[i];
return selectK(temp, k);
}
else if (k <= small+equal)
return p;
else {
int[] temp = new int[big];
for(int i=0, j=0; i<a.length; i++)
if(a[i] > p)
temp[j++] = a[i];
return selectK(temp,k-small-equal);
}
}
private static int median_of_medians(int[] a) {
int[] b = new int[a.length/5];
int[] temp = new int[5];
for(int i=0; i<b.length; i++) {
for(int j=0; j<5; j++)
temp[j] = a[5*i + j];
Arrays.sort(temp);
b[i] = temp[2];
}
return selectK(b, b.length/2 + 1);
}
}
它类似于quickSort策略，我们选择一个任意的枢轴，并将较小的元素放在其左侧，将较大的元素放在右侧
public static int kthElInUnsortedList(List<int> list, int k)
{
if (list.Count == 1)
return list[0];
List<int> left = new List<int>();
List<int> right = new List<int>();
int pivotIndex = list.Count / 2;
int pivot = list[pivotIndex]; //arbitrary
for (int i = 0; i < list.Count && i != pivotIndex; i++)
{
int currentEl = list[i];
if (currentEl < pivot)
left.Add(currentEl);
else
right.Add(currentEl);
}
if (k == left.Count + 1)
return pivot;
if (left.Count < k)
return kthElInUnsortedList(right, k - left.Count - 1);
else
return kthElInUnsortedList(left, k);
}
你可以在O（n）时间和恒定空间中找到第k个最小元素。如果我们认为数组只用于整数。
方法是对Array值范围进行二进制搜索。如果我们在整数范围内都有min_value和max_value，我们可以对该范围进行二进制搜索。 我们可以写一个比较器函数，告诉我们是否有任何值是第k个最小值或小于第k个最小值或大于第k个最小值。 进行二进制搜索，直到达到第k个最小的数字
以下是
的代码类解决方案：
def _iskthsmallest(self, A, val, k):
less_count, equal_count = 0, 0
for i in range(len(A)):
if A[i] == val: equal_count += 1
if A[i] < val: less_count += 1
if less_count >= k: return 1
if less_count + equal_count < k: return -1
return 0
def kthsmallest_binary(self, A, min_val, max_val, k):
if min_val == max_val:
return min_val
mid = (min_val + max_val)/2
iskthsmallest = self._iskthsmallest(A, mid, k)
if iskthsmallest == 0: return mid
if iskthsmallest > 0: return self.kthsmallest_binary(A, min_val, mid, k)
return self.kthsmallest_binary(A, mid+1, max_val, k)
# @param A : tuple of integers
# @param B : integer
# @return an integer
def kthsmallest(self, A, k):
if not A: return 0
if k > len(A): return 0
min_val, max_val = min(A), max(A)
return self.kthsmallest_binary(A, min_val, max_val, k)
还有一种算法优于quickselect算法。它被称为 Floyd-Rivets（FR）算法。
原创文章： https://doi.org/10.1145/360680.360694
可下载版本： https://en.wikipedia.org/wiki/Floyd ％E2％80％93Rivest_algorithm
我尝试在C ++中实现quickselect和FR算法。我还将它们与标准C ++库实现std :: nth_element（它基本上是quickselect和heapselect的introselect hybrid）进行了比较。结果是快速选择和nth_element平均运行，但FR算法运行约。比它们快两倍。
我用于FR算法的示例代码：
template <typename T>
T FRselect(std::vector<T>& data, const size_t& n)
{
if (n == 0)
return *(std::min_element(data.begin(), data.end()));
else if (n == data.size() - 1)
return *(std::max_element(data.begin(), data.end()));
else
return _FRselect(data, 0, data.size() - 1, n);
}
template <typename T>
T _FRselect(std::vector<T>& data, const size_t& left, const size_t& right, const size_t& n)
{
size_t leftIdx = left;
size_t rightIdx = right;
while (rightIdx > leftIdx)
{
if (rightIdx - leftIdx > 600)
{
size_t range = rightIdx - leftIdx + 1;
long long i = n - (long long)leftIdx + 1;
long long z = log(range);
long long s = 0.5 * exp(2 * z / 3);
long long sd = 0.5 * sqrt(z * s * (range - s) / range) * sgn(i - (long long)range / 2);
size_t newLeft = fmax(leftIdx, n - i * s / range + sd);
size_t newRight = fmin(rightIdx, n + (range - i) * s / range + sd);
_FRselect(data, newLeft, newRight, n);
}
T t = data[n];
size_t i = leftIdx;
size_t j = rightIdx;
// arrange pivot and right index
std::swap(data[leftIdx], data[n]);
if (data[rightIdx] > t)
std::swap(data[rightIdx], data[leftIdx]);
while (i < j)
{
std::swap(data[i], data[j]);
++i; --j;
while (data[i] < t) ++i;
while (data[j] > t) --j;
}
if (data[leftIdx] == t)
std::swap(data[leftIdx], data[j]);
else
{
++j;
std::swap(data[j], data[rightIdx]);
}
// adjust left and right towards the boundaries of the subset
// containing the (k - left + 1)th smallest element
if (j <= n)
leftIdx = j + 1;
if (n <= j)
rightIdx = j - 1;
}
return data[leftIdx];
}
template <typename T>
int sgn(T val) {
return (T(0) < val) - (val < T(0));
}
我要做的是：
initialize empty doubly linked list l
for each element e in array
if e larger than head(l)
make e the new head of l
if size(l) > k
remove last element from l
the last element of l should now be the kth largest element
您可以简单地存储指向链接列表中第一个和最后一个元素的指针。它们仅在更新列表时更改。
更新
initialize empty sorted tree l
for each element e in array
if e between head(l) and tail(l)
insert e into l // O(log k)
if size(l) > k
remove last element from l
the last element of l should now be the kth largest element
首先我们可以从未排序的数组构建一个BST，它需要O（n）时间，而从BST我们可以找到O（log（n））中的第k个最小元素，它总计为O（n）的数量级
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