找到方程解决方案的简单方法

Question

我有以下等式：

f(N):  N = ((1+lam)^3 )/ ((1-lam)*(1+lam^2));

我需要创建一个找到的函数 lam 指定 N.

现在，我正在使用简单循环进行操作：

lam = 0.9999;
n = f(lam);
pow = 0;
delta = 0.1;
while(abs(N - n)) > 0.1 & pow < 10000)
    lam = lam - 0.001;
    n = f(lam)
    pow = pow+1;
end

如何在不使用循环的情况下更准确地解决它？

Answer 1

如果你有

N = ((1+lam)^3 )/ ((1-lam)*(1+lam^2))

那你知道

(1+lam)^3 = N*(1-lam)*(1+lam^2)

假设您要扩展这些条款？合并为一个具有实际系数的简单立方方程，等于零？是否有可以为您解决的函数？

答案是肯定的。一种解决方案可能是使用fzero，但是由于方程只是一个立方多项式，因此除非您需要符号解决方案，否则根源是答案。使用符号工具箱解决符号问题。

Answer 2

这是Wolfram Alpha的n = 10解决方案：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2Bx^3)/((1-x)*(1%2Bx^2))%3D10

代数解决方案将适用于您的特定情况，因为这并不难。问题在于，通常，非线性方程需要迭代解决方案：从猜测，朝特定方向迈进，并希望收敛到解决方案。您一般无法求解非线性方程 没有 迭代和循环。

Answer 3

重新排列方程为 0 = f(x)/g(x) （在哪里 f 和 g 是多项式）。然后解决 0 = f(x). 。这应该很容易 f 将是立方体（http://en.wikipedia.org/wiki/cubic_function#roots_of_a_cubic_function）。实际上，Matlab有 roots() 功能来执行此操作。

Answer 4

绘制表明，对于n个阳性，在间隔[-1,1）中恰好有一个解决方案。您应该考虑 牛顿的方法, ，它将很快收敛于零初始猜测。

Answer 5

如其他答案中所述，您可以以封闭形式求解该方程式，但是说实话，对多项式> 2的多项式解决方案在实践中不是很有用，因为结果往往条件不佳。

对于您的特定多项式，我同意Alexandre的观点，即牛顿的方法可能是必经之路。

但是，从长远来看，我强烈建议写（或从互联网重复使用）jenkins-traub根找到算法的实现。 Wikipedia将其描述为“实际上是黑盒多项式根界面的标准”，它们并不夸张。多年来，它已经满足了我所有的多项式解决需求。根据我的经验，它比牛顿的方法更强大（不依赖良好的初始猜测）和基于特征值的方法，并且很快就可以启动。

Answer 6

对于大多数n值，您的问题都有一个代数解决方案。这是解决方案，如该解决方案。 Wolfram Alpha:

if N+1!=0
   x = (20 N^3+18 N^2+3 sqrt(3) sqrt(16 N^6+32 N^5-20 N^4-72 N^3-9 N^2+54 N+27)-27 N-27)^(1/3)/(3 2^(1/3) (N+1))-(2^(1/3) (2 N^2+3 N))/(3 (N+1) (20 N^3+18 N^2+3 sqrt(3) sqrt(16 N^6+32 N^5-20 N^4-72 N^3-9 N^2+54 N+27)-27 N-27)^(1/3))+N/(3 (N+1))

是的，这很丑。

如果您有一个，那么确切的代数解决方案，即使是这样的大丑陋解决方案，总是比数值解决方案优越。正如Duffymo所指出的那样，用数值方法解决问题需要迭代（因此它很慢），并且求解器可能会卡在局部最小值中。