如何计算C ++中列随机矩阵的特征向量

Question

我有一个列随机矩阵A，并希望在C ++中求解以下方程：ax = x

我假设我需要找出一个特征向量X，其中特征值设置为1（对吗？），但我无法在C ++中弄清楚。到目前为止，我已经检查了一些数学限制，例如Seldon，Cppscalapack，eigen ...等等，Eigen似乎是一个不错的选择，但我不明白如何利用它们中的任何一个来求解上面的方程式。

您能给我一些建议/代码片段或想法来解决方程式吗？任何帮助将受到高度赞赏。

谢谢。

编辑：a是n by-n真实的，非负矩阵。

Answer 1

请记住，我没有使用过特征，但是 EigenSolver 和 SelfAdjointEigenSolver 希望能够解决这个问题。这些被列为“实验性”，因此可能会有错误，未来API可能会发生变化。

// simple, not very efficient
template <typename _M> 
bool isSelfAdjoint(const _M& a) {
    return a == a.adjoint();
}

template <typename _M> 
std::pair<Eigen::EigenSolver<_M>::EigenvalueType Eigen::EigenSolver<_M>::EigenvectorType>
eigenvectors(const _M& a) {
    if (isSelfAdjoint(a)) {
        Eigen::EigenSolver<M> saes(a);
        return pair(saes.eigenvalues(), saes.eigenvectors());
    } else {
        Eigen::EigenSolver<M> es(a);
        return pair(es.eigenvalues, es.eigenvectors());
    }
}

这两个求解器类对于本征值和本征矢量收集具有不同的类型，但是由于它们都基于类矩阵和矩阵可转换，因此上述应起作用。

或者，您可以将问题作为 均匀的线性方程 （ai_n) X = 0, ，可以通过转换AI来解决_n 到上三角矩阵。 高斯消除 会这样做（尽管您需要跳过确保领先系数为1的每一行的正常化步骤，因为整数不是字段）。快速仔细阅读上述项目并没有得到对Row Echelon转换的支持，这可能意味着我错过了它。无论如何，使用几个助手类实施并不难（RowMajor, RowMajor::iterator, RowWithPivot 在下面的）。我什至没有测试是否会编译，因此将其作为算法的说明更多，而不是完整的液压解决方案。尽管样本使用功能，但使用类（<eigensolver）可能更有意义。

/* Finds a row with the lowest pivot index in a range of matrix rows.
 * Arguments:
 * - start: the first row to check 
 * - end:   row that ends search range (not included in search)
 * - pivot_i (optional): if a row with pivot index == pivot_i is found, search 
 *     no more. Can speed things up if the pivot index of all rows in the range
 *     have a known lower bound.
 *
 * Returns an iterator p where p->pivot_i = min([start .. end-1]->pivot_i)
 *
 */
template <typename _M>
RowMajor<_M>::iterator 
find_lead_pivot (RowMajor<_M>::iterator start,
                 const RowMajor<_M>::iterator& end,
                 int pivot_i=0) 
{
    RowMajor<_M>::iterator lead=start;
    for (; start != end; ++start) {
        if (start->pivot() <= pivot_i) {
            return start;
        }
        if (start->pivot() < lead->pivot()) {
            lead = start;
        }
    }
    return end;
}

/* Returns a matrix that's the row echelon form of the passed in matrix.
 */
template <typename _M>
_M form_of_echelon(const _M& a) {
    _M a_1 = a-_M::Identity();
    RowMajor<_M> rma_1 = RowMajor<_M>(a_1);
    typedef RowMajor<_M>::iterator RMIter;
    RMIter lead;
    int i=0;

    /*
      Loop invariant: row(i).pivot_i <= row(j).pivot_i, for j st. j>i
     */
    for (RMIter row_i = rma_1.begin(); 
         row_i != rma_1.end() && row_i->pivot() != 0; 
         ++row_i, ++i) 
    {
        lead = find_lead_pivot(row_i, rma_1.end(), i);
        // ensure row(i) has minimal pivot index
        swap(*lead, *row_i);

        // ensure row(j).pivot_i > row(i).pivot_i
        for (RMIter row_j = row_i+1; 
             row_j != rma_1.end(); 
             ++row_j) 
        {
            *row_j = *row_j * row_i->pivot() - *row_i * row_j->pivot();
        }
        /* the best we can do towards true row echelon form is reduce 
         * the leading coefficient by the row's GCD
         */
        // *row_i /= gcd(*row_i);
    }
    return static_cast<_M>(rma_1);
}

/* Converts a matrix to echelon form in-place
 */
template <typename _M>
_M& form_of_echelon(_M& a) {
    a -= _M::Identity();
    RowMajor<_M> rma_1 = RowMajor<_M>(a);
    typedef RowMajor<_M>::iterator RMIter;
    RMIter lead;
    int i=0;

    /*
      Loop invariant: row(i).pivot_i <= row(j).pivot_i, for j st. j>i
     */
    for (RMIter row_i = rma_1.begin(); 
         row_i != rma_1.end() && row_i->pivot() != 0; 
         ++row_i, ++i) 
    {
        lead = find_lead_pivot(row_i, rma_1.end(), i);
        // ensure row(i) has minimal pivot index
        swap(*lead, *row_i);

        for (RMIter row_j = row_i+1; 
             row_j != rma_1.end(); 
             ++row_j) 
        {
            *row_j = *row_j * row_i->pivot() - *row_i * row_j->pivot();
        }
        /* the best we can do towards true row echelon form is reduce 
         * the leading coefficient by the row's GCD
         */
        // *row_i /= gcd(*row_i);
    }
    return a;
}

辅助类的接口，这些界面尚未被审查以进行const-correctges和其他使C ++工作的必要细节。

template <typename _M>
class RowWithPivot {
public:
    typedef _M::RowXpr Wrapped;
    typedef _M::Scalar Scalar;

    RowWithPivot(_M& matrix, size_t row);

    Wrapped base();
    operator Wrapped();

    void swap(RowWithPivot& other);

    int cmp(RowWithPivot& other) const;
    bool operator <(RowWithPivot& other) const;

    // returns the index of the first non-zero scalar
    // (best to cache this)
    int pivot_index() const;
    // returns first non-zero scalar, or 0 if none
    Scalar pivot() const;
};

template <typename _M, typename _R = RowWithPivot<_M> >
class RowMajor {
public:
    typedef _R value_type;

    RowMajor(_M& matrix);

    operator _M&();
    _M& base();

    value_type operator[](size_t i);

    class iterator {
    public:
        // standard random access iterator
        ...
    };

    iterator begin();
    iterator end();
};