Как рассчитать собственного вектора колонны стохастическая матрица в C ++
-
08-10-2019 - |
Вопрос
У меня есть столбец стохастической матрицы A и хочу решить следующее уравнение в C ++: AX = X
Я предполагаю, что мне нужно выяснить собственногоVector x, где установлено значение EigenValue 1 (справа?) Но я не мог понять это в C ++. До сих пор я проверил несколько математических ливок, таких как Seldon, CPPScalaPack, Eigen ... Среди них, EIGEN, кажется хорошим вариантом, но я не мог понять, как использовать любой из них, чтобы решить уравнение выше.
Можете ли вы дать мне некоторые предложения / кодовые фрагменты или идеи для решения уравнения? Любая помощь высоко ценится.
Спасибо.
Редактировать: A N-BY-N Real, неотрицательная матрица.
Решение
Имейте в виду, что я не использовал собственную, но его EigenSolver
а также SelfAdjointEigenSolver
Посмотрите, чтобы быть в состоянии решить это. Они перечислены как «экспериментальные», поэтому могут быть ошибки, а API может измениться в будущем.
// simple, not very efficient
template <typename _M>
bool isSelfAdjoint(const _M& a) {
return a == a.adjoint();
}
template <typename _M>
std::pair<Eigen::EigenSolver<_M>::EigenvalueType Eigen::EigenSolver<_M>::EigenvectorType>
eigenvectors(const _M& a) {
if (isSelfAdjoint(a)) {
Eigen::EigenSolver<M> saes(a);
return pair(saes.eigenvalues(), saes.eigenvectors());
} else {
Eigen::EigenSolver<M> es(a);
return pair(es.eigenvalues, es.eigenvectors());
}
}
Два класса Solver имеют разные типы для ценностей собственного значения и натуральные коллекции, но поскольку они оба основаны на матрице класса, так и матрицы, являются кабриолетными, то вышесказанное он должен работать.
В качестве альтернативы вы можете подойти к проблеме как однородное линейное уравнение (АИ.N.) Икс = 0, который можно решить путем преобразования AIN. к верхней треугольной матрице. Гауссовская ликвидация Сделал это (хотя вам нужно будет пропустить нормализующий шаг для каждой строки, где вы убедитесь, что ведущий коэффициент - 1, так как целые числа не являются полем). Быстрый прочность вышеуказанных проектов не оказался поддержкой преобразования row Echelon, который, вероятно, означает, что я пропустил его. В любом случае, не слишком сложно реализовать с несколькими классами помощников (RowMajor
, RowMajor::iterator
, RowWithPivot
В следующих). Я даже не проверил, будет ли это скомпилировать, поэтому возьмите его как более иллюстрацию алгоритма, чем полное решение. Хотя образец использует функции, возможно, имеет больше смысла использовать класс (a a a Eigensolver).
/* Finds a row with the lowest pivot index in a range of matrix rows.
* Arguments:
* - start: the first row to check
* - end: row that ends search range (not included in search)
* - pivot_i (optional): if a row with pivot index == pivot_i is found, search
* no more. Can speed things up if the pivot index of all rows in the range
* have a known lower bound.
*
* Returns an iterator p where p->pivot_i = min([start .. end-1]->pivot_i)
*
*/
template <typename _M>
RowMajor<_M>::iterator
find_lead_pivot (RowMajor<_M>::iterator start,
const RowMajor<_M>::iterator& end,
int pivot_i=0)
{
RowMajor<_M>::iterator lead=start;
for (; start != end; ++start) {
if (start->pivot() <= pivot_i) {
return start;
}
if (start->pivot() < lead->pivot()) {
lead = start;
}
}
return end;
}
/* Returns a matrix that's the row echelon form of the passed in matrix.
*/
template <typename _M>
_M form_of_echelon(const _M& a) {
_M a_1 = a-_M::Identity();
RowMajor<_M> rma_1 = RowMajor<_M>(a_1);
typedef RowMajor<_M>::iterator RMIter;
RMIter lead;
int i=0;
/*
Loop invariant: row(i).pivot_i <= row(j).pivot_i, for j st. j>i
*/
for (RMIter row_i = rma_1.begin();
row_i != rma_1.end() && row_i->pivot() != 0;
++row_i, ++i)
{
lead = find_lead_pivot(row_i, rma_1.end(), i);
// ensure row(i) has minimal pivot index
swap(*lead, *row_i);
// ensure row(j).pivot_i > row(i).pivot_i
for (RMIter row_j = row_i+1;
row_j != rma_1.end();
++row_j)
{
*row_j = *row_j * row_i->pivot() - *row_i * row_j->pivot();
}
/* the best we can do towards true row echelon form is reduce
* the leading coefficient by the row's GCD
*/
// *row_i /= gcd(*row_i);
}
return static_cast<_M>(rma_1);
}
/* Converts a matrix to echelon form in-place
*/
template <typename _M>
_M& form_of_echelon(_M& a) {
a -= _M::Identity();
RowMajor<_M> rma_1 = RowMajor<_M>(a);
typedef RowMajor<_M>::iterator RMIter;
RMIter lead;
int i=0;
/*
Loop invariant: row(i).pivot_i <= row(j).pivot_i, for j st. j>i
*/
for (RMIter row_i = rma_1.begin();
row_i != rma_1.end() && row_i->pivot() != 0;
++row_i, ++i)
{
lead = find_lead_pivot(row_i, rma_1.end(), i);
// ensure row(i) has minimal pivot index
swap(*lead, *row_i);
for (RMIter row_j = row_i+1;
row_j != rma_1.end();
++row_j)
{
*row_j = *row_j * row_i->pivot() - *row_i * row_j->pivot();
}
/* the best we can do towards true row echelon form is reduce
* the leading coefficient by the row's GCD
*/
// *row_i /= gcd(*row_i);
}
return a;
}
Интерфейсы для классов помощников, которые не были связаны с корректностью Const-Trearness и другие необходимые детали, которые делают работу C ++.
template <typename _M>
class RowWithPivot {
public:
typedef _M::RowXpr Wrapped;
typedef _M::Scalar Scalar;
RowWithPivot(_M& matrix, size_t row);
Wrapped base();
operator Wrapped();
void swap(RowWithPivot& other);
int cmp(RowWithPivot& other) const;
bool operator <(RowWithPivot& other) const;
// returns the index of the first non-zero scalar
// (best to cache this)
int pivot_index() const;
// returns first non-zero scalar, or 0 if none
Scalar pivot() const;
};
template <typename _M, typename _R = RowWithPivot<_M> >
class RowMajor {
public:
typedef _R value_type;
RowMajor(_M& matrix);
operator _M&();
_M& base();
value_type operator[](size_t i);
class iterator {
public:
// standard random access iterator
...
};
iterator begin();
iterator end();
};