Sind randomisierte Algorithmen konstruktiv?

Question

Aus den Beweisen der probabilistischen Methode werden oft als nicht konstruktiv bezeichnet.

Ein Beweis nach einer probabilistischen Methode entwirft jedoch tatsächlich einen randomisierten Algorithmus und verwendet ihn zum Nachweis der Existenz. Zitiert aus P103 von Randomisierte Algorithmen von Rajeev Motwani, Prabhakar Raghavan:

Wir könnten den Beweis durch die probabilistische Methode als randomisierten Algorithmus betrachten. Dies würde dann eine weitere Analyse erfordern, die die Wahrscheinlichkeit begrenzt, dass der Algorithmus keine gute Partition für eine bestimmte Ausführung findet. Der Hauptunterschied zwischen einem Gedankenexperiment in der probabilistischen Methode und einem randomisierten Algorithmus ist das Ende, das jedes ergibt. Wenn wir die probabilistische Methode anwenden, befassen wir uns nur darum, zu zeigen, dass ein kombinatorisches Objekt existiert. Daher sind wir damit zufrieden, zu zeigen, dass ein günstiges Ereignis mit Wahrscheinlichkeit von ungleich Null auftritt. Bei einem randomisierten Algorithmus ist die Effizienz andererseits eine wichtige Überlegung - wir können eine winzige Erfolgswahrscheinlichkeit nicht tolerieren.

Ich frage mich also, ob randomisierte Algorithmen als nicht konstruktiv angesehen werden, obwohl sie am Ende jedes Laufs eine Lösung ausgeben, was möglicherweise eine ideale Lösung ist oder nicht.

Wie ist ein Algorithmus oder Beweis "konstruktiv"?

Vielen Dank!

Answer 1

Die probabilistische Methode wird typischerweise verwendet, um zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit von etwas Zufälliger Objekt mit einer bestimmten Eigenschaft ist ungleich Null, weist jedoch keine Beispiele auf. Es garantiert, dass ein Algorithmus "Repeat-toil-Sucess" letztendlich endet, aber zur Laufzeit keine Obergrenze enthält. Sofern die Wahrscheinlichkeit einer Immobilienbesitz nicht erheblich ist, macht ein Existenznachweis nach der probabilistischen Methode einen sehr schlechten Algorithmus.

Tatsächlich sind probabilistische Algorithmen keine konstruktiven Existenzbeweise, so sehr, wie sie Algorithmen sind produzieren Konstruktive Existenzbeweise. Die Ausgabe ist ein Objekt der Art, die die Existenz von der Existenz beweisen sollte; Aber die Tatsache, dass es wird letztlich Ergeben Sie einen ("Es gibt eine Iteration, in der es ein Beispiel gibt - außer mit Wahrscheinlichkeit Null ...") nicht ausreicht, um konstruktiv zu sein; Es wird nur für jemanden zufriedenstellend sein, der bereits akzeptiert, dass ohne Null-Wahrnehmung ohne Konstruktion für das Existenz ausreicht. Umgekehrt gibt es im Prinzip keine Entschuldigung, es nicht auszuführen, um es tatsächlich zu erstellen, um tatsächlich ein Beispiel zu erstellen, wenn Sie eine gute Grenze für die Laufzeit haben. Ein guter probabilistischer Algorithmus ist immer noch kein konstruktiver Beweis, sondern ein guter planen einen konstruktiven Beweis erhalten.

Beachten Sie, dass diese Idee, dass ein randomisierter Algorithmus a ist Beweisstrategie (im Gegensatz zu einem Beweis an sich), um eine existenzielle Quantifizierung zu demonstrieren, ist der Idee nicht unähnlich, dass die Induktion eine gute Beweisstrategie ist, um eine universelle Quantifizierung zu zeigen (über die natürlichen Zahlen). Diese Analogie mag überzeugend erscheinen, da die Induktion im Wesentlichen das Herz der Rekursion als Computertechnik ist. (Wenn Sie für eine positive Ganzzahl $ n $ entscheiden möchten, ob $ N^2 $ eine Summe der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen ist, können Sie dies reduzieren, um zu untersuchen, ob $ (n-1)^2 $ ist eine Summe der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen vor 2n-1 $ $ und so weiter.) Die Induktion ist im Wesentlichen eine algorithmische Proof-Strategie, die wir zu einem Satz erhöht haben, sodass wir das Wissen haben, ohne es jedes Mal explizit zu berechnen. Die Induktion wird jedoch konstruktiv akzeptiert, da es sich bereits um ein Axiom (-scheme) von Erdbaumarithmetik handelt und eines von den anderen Axiomen unabhängig. Im Gegensatz dazu gibt es keine Inferenz- oder Axiomregel, die es der probabilistischen Methode ermöglicht, Existenz konstruktiv zu beweisen oder konstruktiv zu beweisen, dass probabilistische Algorithmen existierende Beweise oder irgendetwas entlang dieser Linien erzeugen. Sie können einfach nicht beweisen, dass es Beispiele für eine Objektklasse aus der Tatsache gibt, dass es einen probabilistischen Algorithmus gibt, um ihn zu konstruieren, es sei denn, Sie akzeptieren diesen Satz entweder als Axiom oder aus anderen Räumlichkeiten.

Natürlich könnte man eine philosophische Position einnehmen, die für den Konstruktivismus und den klassischen Ansatz für das Existenz vorhanden ist, und sagen, dass das, was man will, keine Konstruktionen an sich ist, sondern Bauschema, die mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als einem versagen dürfen. Das würde jede probabilistische Konstruktion "schematisch" machen, wenn nicht sogar vollständig konstruktiv. Wo man die Grenze zeichnen möchte, um zu sagen, dass sie einen Existenznachweis "zufriedenstellend" finden, hängt letztendlich davon ab, wie viel Intuition (im nicht-philosophischen Sinne) sie von Beweisen gewinnen möchten.

Answer 2

Die einheitliche Beweiskomplexität ist ein Feld, das (unter anderem) der Untersuchung konstruktiver Beweisvorstellungen und ihrer Beziehung zu Komplexitätsklassen gewidmet ist. Für jeden der populären (einheitlichen) Komplexitätsklassen kann man eine Theorie definieren, in der alles, was nachweisbar ist, in einem Algorithmus in dieser Komplexitätsklasse eine "Unterstützung" hat. Randomisierte Algorithmen werden durch Versionen des Pigeonhole -Prinzips (seltsamerweise) untergebracht.

Leider bin ich kein Experte, deshalb kann ich nicht viel mehr sagen, außer Sie auf das Buch von zu zeigen Cook und Nguyen (gleiche Koch wie in Cooks Theorem) und zur Arbeit von Emil Jeřábek, besonders seine These auf randomisierte Berechnung.