Injektivität ist nicht für Vereinfänkungsalgorithmen erforderlich?

Question

Wenn wir über einen Generalvereinigungsalgorithmus lernen, haben wir die Regel Zersetzung von gelernt, die die Vereinigung von

$$ g \ cup \ {f (a_0, ... a_k)= f (b_0, ..., b_k) \ \ \ rightarrow g \ cup \ {a_0= b_0, ... a_k= b_k \}. $$

Die Frage von, "was, wenn $ F $ ist nicht injektiv?" stand mir heraus. Sagen Sie $ F $ ist nicht injektiv, und wir durchqueren diesen Zweig der Berechnung, in dem $ F (A_0, ... A_K)= F (B_0, ..., B_K) \ Rightarrow \ {A_0= B_0, ..., A_K= B_K \} $ und führen zum Misserfolg. Ist es möglich, dass es eine andere Möglichkeit gibt, $ A_0, ..., A_K $ auf $ B_0, ... B_K $ so, dass es nicht verwirrt ist?

Ich dachte vielleicht eines Beispiels, um demonstrieren, was ich meine. Dies ist möglicherweise kein gutes Beispiel, aber sagen wir, wir betrachten, $ F (x, y)= x + y $ , und wir möchten $ F (H (A), G (b)= f (g (c), h (d)) $ dann würden wir versagen, indem wir $ \ {h (a)= g (c), g (b)= h (d) \} $ durch Zersetzung, aber erfolgreich in der Vereinigung, wenn wir stattdessen die Argumente von $ F $ (gültig, seit $ F (A, B)= F (B, A) $ ), die den < Span-Klasse="Math-Container"> $ \ {a \ mapsto d, b \ mapsto c \} $ .

Ich habe ein bisschen darüber gelesen in dieses Papier Auf Seite 6, wo sie die Idee der Striktheit in Bezug auf Zersetzung diskutieren, aber ich verstehe es nicht ganz, und generell, wie wir diesen Einrichtungsschritt auf einem allgemeinen $ erfüllen können F $ , ohne irgendwie auf Fehler zurückzutracken.

Answer 1

hier $ F $ ist keine mathematische Funktion. Vielmehr ist es ein Funktionssymbol . Denken Sie nicht an $ F (A, B) $ als Ergebnis der Auswertung der Funktion bei Parametern $ A, B $ . Stellen Sie sich eher als Begriff in einem symbolischen Ausdruck an - es ist ein syntaktisches Objekt, das nicht in der Art und Weise, wie Sie interpretiert, interpretiert werden soll.

Wenn Sie möchten, können Sie daran denken, als ob jedes Funktionssymbol in einem symbolischen Ausdruck eine Injektionsfunktion ist; Aber das ist nicht wirklich genau, das ist nur eine rohe Art, über symbolische Ausdrücke nachzudenken.

Sie können nicht definieren $ f (x)= x + y $ . $ F $ ist ein nicht interpretiertes Funktionssymbol. Sie dürfen keine bestimmte Funktion definieren. Vielmehr ist $ F $ ein Stand-In für eine Funktion, die noch nicht definiert ist. Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist, dass alle Schlussfolgerungen, die Sie aus der Vereinigung ziehen, Schlussfolgerungen sind, die für alle Funktionen $ F $ (nicht nur ein einzelner) halten sollten. < / p>