Ungeordnete Paare in der Homotopietypentheorie

Question

Es ist konzeptionell einfach zu sagen, was ein "ungeordnetes Paar" in der Mengenlehre sein soll.In der Homotopietypentheorie habe ich jedoch Probleme, dies zu formalisieren.Ein erster naiver Versuch in Agda-Syntax:

data UPair (A : Type ℓ) : Type ℓ where
  mkpair : (x y : A) → UPair A
  uswap : ∀ a b → mkpair a b ≡ mkpair b a

Dies schlägt fehl, da es tatsächlich zwei verschiedene Pfade zwischen z. mkpair 1 2 und mkpair 2 1, das heißt, wir haben uswap 1 2 und sym (uswap 2 1).Auch diese können von einem um eins höheren Pfadkonstruktor gleich erzwungen werden, aber man müsste für immer weitermachen.

Offensichtlich, wenn A ist ein n-abgeschnittener Typ, wir können irgendwann aufhören.Im Allgemeinen schlägt das Abschneiden auf einer bestimmten Ebene fehl, da möglicherweise einige nicht triviale Pfade vergessen werden A.Nehmen Sie zum Beispiel die Mengenkürzung des obigen Typs und A = S¹, der Kreis, dann der Weg i. mkpair (loop i) base ist verloren und identifiziert mit refl (mkpair base base).

Können wir generell die Art der ungeordneten Paare eines Parameters aufschreiben A : Type ℓ?Kann der resultierende Typ im Universum leben ℓ?

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Klarstellung:

Lassen A· = (A , a) sei ein spitzer Typ.Definieren UPA· = (UPair A, mkpair a a) als spitzer Typ.Ich würde dann erwarten Ωₜ UPA· ≡ UPair (Ωₜ A·).Diese entsprechen Singleton-Mengen.

Lassen A∙ = (A, a, b) sei ein zweispitziger Typ mit a ≢ b.Dann erwarte ich, dass die Karte (a ≡ a) × (b ≡ b) → mkpair a b ≡ mkpair b a gegeben von (pa , pb) → (λ i → mkpair (pa i) (pb i)) ∙ uswap a b ist eine Äquivalenz.

Answer 1

Der Typ ungeordneter Paare in einem Typ $Ein$ ist definiert als $$\Summe{(X:\mathcal {U})}\Summe{(H:\/X\simeq \mathsf{bool}\|)}A^X.$$ Mit anderen Worten, ein ungeordnetes Paar in $Ein$ ist einfach eine Karte $ X \ zu einem $ von einem Typ $X$ das hat nur zwei Elemente.

Beachten Sie, dass dies im Allgemeinen keine Menge ist, da der Typ von 2-Element-Typen keine Menge, sondern ein 1-Typ ist.Man kann darüber nachdenken, dass ungeordnete Paare einige Symmetrien aufweisen (Vertauschen der Reihenfolge der Elemente in den ungeordneten Paaren), die in der Homotopietyptheorie berücksichtigt werden sollten.

Beachten Sie, dass der Typ ungeordneter Paare auch verwendet werden kann, um den Typ vollständig kohärenter kommutativer binärer Operationen für einen Typ zu definieren $Ein$.Dieser Typ ist einfach $$\ Groß(\ summe_{(X:\mathcal {U})}\Summe{(H:\/X\simeq\mathsf {bool}\|)}A ^ X \ Groß) \ zu A.$$ Mit anderen Worten, eine vollständig kohärente kommutative binäre Operation auf $Ein$ ist eine Operation auf die ungeordneten Paare von $Ein$.

Answer 2

Der setzen von ungeordneten Paaren von A kann mit einem höherinduktiven Typ mit Mengenkürzung definiert werden, genau wie Sie vorgeschlagen haben, ungefähr so (ich schreibe das von Anfang an, ohne es in Agda zu überprüfen, aber Sie werden den Punkt verstehen):

data UPair (A : Type ℓ) : Type ℓ where
  mkpair : (x y : A) → UPair A
  uswap : ∀ a b → mkpair a b ≡ mkpair b a
  trunc : ∀ (u v : UPair A) (p q : u ≡ v) → p ≡ q

Es ist offensichtlich, dass UPair A ist ein Set (ist ein $0$-typ) weil trunc bezeugen Sie diese Tatsache direkt.Sie müssen keine Konstruktoren für höhere Pfade hinzufügen.