Gibt es einen effizienten Algorithmus, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine große zufällig ausgewählte Ganzzahl nicht von irgendeiner Ganzzahl einiger Set teilab ist?

Question

Angesichts eines Satzes von 10 Ganzzahlen $ a= A_1, A_2, \ CDOTs A_ {10} $ , gibt es einen effizienten Algorithmus, der mir sagen kann, was die Wahrscheinlichkeit istEine zufällig ausgewählte Ganzzahl zwischen $ 1 $ und $ 10 ^ {10} $ ist nicht von einem Mitglied dieses Satzes teilbar.

Ich verstehe, dass das Inclusion-Ausschluss-Prinzip verwendet werden kann, um dieses Problem zu lösen, aber ich kann nicht herausfinden, wie er es implementieren soll, so dass er effizient funktioniert.

note : Wenn ich "effizient" sage, meine polynome Zeit, aber ich bin mir nicht ganz sicher, was als Polynom-Zeit qualifiziert ist, dass dieser Fall ist, da beide Variablen behoben sind.

Answer 1

let $ \ mathbf x $ Seien Sie eine Zufallszahl im Bereich $ 1, \ ldots, n $ , und lassen Sie $ e_i $ das Ereignis an, das $ \ Mathbf x $ von $ a_i $ . Sie sind an der Wahrscheinlichkeit interessiert, dass keiner der Ereignisse $ E_1, \ LDOs, E_M $ passiert (in Ihrem Fall, $ m= 10 $ ). Mit dem Inclusion-Ausschluss-Prinzip verringert dies die Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Ereignisse des Formulars $ E_ {i_1} \ Land \ CDs \ Land E_ {i_k} $ , Das heißt, $ \ mathbf x $ ist von allen $ A_ {i_1}, \ ldots, a_ {i_k} teilbar $ . Da ein $ \ mathbf x $ von einem Bündel von Zahlen teilbar ist, ist es von ihrem LCM teilbar, genügt es, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass $ \ mathbf x $ ist mit $ A $ teilbar.

Unter $ 1, \ ldots, n $ , die von $ A $ sind $$ a, 2a, 3a, \ ldots, \ lfloor n / a \ rfloor a, $$ Insgesamt $ \ lfloor n / a \ rfloor $ Zahlen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass $ \ mathbf x $ von $ A $ teilbar ist, ist genau $$ \ frac {lfloor n / a \ rfloor} {n}. $$