Wie erweist man sich als zwei Wege, die mindestens k Kanten auseinander sind, NP-Hard?

Question

lass $ g= (v, e) $ ein ungewichtete, ungerichtete und angeschlossene Diagramm sein. Angesichts von zwei Start-Ecken $ s_1 $ und $ s_2 $ und zwei Endkissen $ t_1 $ und $ t_2 $ Gibt es einen Pfad von $ s_1 $ zu $ t_1 $ und $ s_2 $ bis $ t_2 $ so, dass die engste Anzahl von Kanten zwischen den beiden Pfaden mindestens $ K $ ist? Zwei Pfade sind $ K $ Schließen, wenn das Minimum der kürzesten Entfernungen zwischen jedem Scheitelpunkt auf dem ersten Pfad bis zu einem beliebigen Scheitelpunkt auf dem zweiten Pfad $ K $ .

Ich dachte daran, von 3sat zu reduzieren und den ersten Pfad die Variablen darzustellen, und der zweite Weg repräsentiert die Klauseln, aber ich bin nicht sicher, wo ich von dort ausgehen kann.

Answer 1

Sie können von 3sat reduzieren.

Der Graph hat zwei Teile. Ein Teil ist der "variable" Teil. Für jede der Variablen $ v_1, \ ldots, v_n $ gibt es zwei drei Scheitelpunkte $ v_i ^ +, v_i ^ - , v_i $ , und dieses Teil besteht aus den folgenden Rändern, für $ i \ in [n] $ :

$$ (v_ {I-1}, v_i ^ +), (v_ {i-1}, v_i ^ -), (v_i ^ +, v_i), (v_i ^ +, v_i), ( v_i ^ -, v_i) $$

hier $ v_0 $ ist ein neuer Scheitelpunkt, identifiziert mit $ s_1 $ und $ v_n $ wird mit $ t_1 $ identifiziert.

Der zweite Teil ist der Teil "Klausel". Für jede der Klauseln $ c_1, \ ldots, c_m $ dort vier Scheitelpunkte $ w_j ^ 1, w_j ^ 2, w_j ^ 3, w_j $ , mit $ s_2 $ und $ t_2 $ .

wir verbinden $ v_i ^ B $ mit $ w_j ^ r $ über einen längenweg < Span-Klasse="Math-Container"> $ K $ (für einige groß genug konstante $ K $ ), wenn die wörtliche $ v_i ^ B $ (entweder $ v_i $ oder $ \ Overline {v_i} $ < / span>, laut $ b $ ) ist das entgegengesetzte von $ j $ 'th Literal in $ C_J $ .

Wir nehmen auch alle Mindpunkte dieser Wege an und verbinden alle (sie in eine Clique machen).

Wir können an einen $ (S_1, T_1) $ -pfad als Wahrheitsaufgabe und eines $ (S_2, T_2) $ -Path als Identifizierung eines zufriedenen Wörtels in jeder Klausel. Die minimale Entfernung ist mehr als $ K $ , wenn dies in der Tat der Fall ist, und nur $ k $ Andernfalls .

Sie müssen auch überprüfen, ob es keinen Punkt für die Wege gibt, um zwischen den Teilen zu überqueren. Wenn nur einer der Wege kreuzt, sind die beiden Pfade nahe beieinander (in einem ständigen Abstand, den für große Entfernung, der für groß genug ist, $ k $ kleiner als $ K $ ) unmittelbar nach der Kreuzung. Wenn beide Kreuze, dann sorgt dann die Mittelpunktclique, dass sie höchstens 1 in der Entfernung sind.