Как доказать, что найти два пути, которые по крайней мере K края друг от друга, это NP-HARD?

Question

Пусть $ g= (v, e) $ - невзвешенным, нерешенным и подключенным графом. Учитывая два запуска вершины $ s_1 $ и $ s_2 $ и два конца вершины $ t_1 $ и $ t_2 $ Есть ли путь от $ s_1 $ Для $ t_1 $ и $ s_2 $ на $ t_2 $ такой, что самое ближайшее количество ребер между двумя путями, по меньшей мере, $ K $ ? Два траектория - $ K $ Закрыть, если минимум кратчайших расстояний между любой вершиной на первом пути к любой вершине на втором пути является $ k $ .

Я думал о сокращении от 3sat и позволить первому пути представлять переменные, а второй путь представляют собой пункты, но я не уверен, куда оттуда оттуда.

Answer 1

Вы можете уменьшить с 3sat.

График имеет две части. Одна часть - это часть «переменная». Для каждого из переменных $ v_1, \ ldots, v_n $ Есть две три вершины $ v_i ^ +, v_i ^ - , v_i $ , и эта часть состоит из следующих ребер, для $ i \ in [n] $ :

$$ (v_ {i-1}, v_i ^ +), (v_ {i-1}, v_i ^ -), (v_i ^ +, v_i) ( v_i ^ -, v_i) $$

Здесь $ v_0 $ - это новая вершина, идентифицированная с $ S_1 $ , а также <класс SPAN= «Математический контейнер»> $ v_n $ идентифицируется с помощью $ t_1 $ .

Вторая часть - часть «пункт». Для каждого из положений $ C_1, \ ldots, c_m $ Есть четыре вершины $ w_j ^ 1, w_j ^ 2, w_j ^ 3, w_j $ , подключен к значимости, как раньше, с $ s_2 $ и $ t_2 $ .

Мы подключаем $ v_i ^ b $ с $ w_j ^ r $ через путь длины SPAN CLASS= «Математический контейнер»> $ K $ (для некоторого достаточно большого постоянного $ K $ ) Если буквальный Контейнер "> $ v_i ^ b $ (либо $ v_i $ или $ \ uverline {v_i} $ < / span>, согласно $ b $ ) - это напротив $ j $ 'TH LILLAL в $ C_J $ .

Кроме того, мы берем все разметки этих путей и соединяем все они (делая их в клику).

Мы можем подумать о $ (S_1, T_1) $ -PATE в качестве назначения правды, а также на $ (s_2, t_2) $ -Path в качестве идентификации удовлетворенного литерала в каждом пункте. Минимальное расстояние больше, чем $ K $ Если это действительно так, и только $ K $ в противном случае Отказ

Вам также необходимо убедиться, что путей нет точка для пересечения между частями. Если только один из путей пересекает, то два пути будут близко друг к другу (на некотором постоянном расстоянии, что для достаточно большого количества $ K $ будет меньше, чем <класс Span= «Математический контейнер»> $ k $ ) сразу после пересечения. Если оба пересекаются, то клика среднего значения гарантирует, что они находятся на расстоянии максимум 1.