Wie erweist man die NP-Vollständigkeit des längsten Pfads zwischen zwei Scheitelpunkten, wenn Sie Hamilton NP-Hard-Problem verlassen?

Question

Ich habe diese Frage: Ich habe einen ungerechten Graph g (v, e) (wobei V= Set von Ecken, E= Ränder eingestellt).Betrachten Sie den maximalen Weg zwischen zwei Ecken und T:

generasacodicetagpre.

Ein einfacher Pfad ist ein Pfad ohne wiederholte Schaltplätze, d. H. Jeder Schäuß kann nur einmal besucht werden.Die Länge des Pfads ist von den Rändern gegeben, von der es komponiert wird.

Wie kann ich also zeigen, dass lath ein NP-Komplettproblem ist, das mit dem Hamilton-Pfad-Problem als NP-Hard-Problem als Referenz verwendet?

Answer 1

Willkommen auf der Website! Lassen Sie $ g= (v, e) $ ein ungerichtetes Diagramm sein. Wenn $ g $ Hamiltonian ist, gibt es einen einfachen Zyklus $ C $ in $ g $ mit jedem Scheitelpunkt, dh die Länge der $ C $ ist $ | V | $ . Beachten Sie, dass, wenn Sie eine beliebige Kante $ VW $ von $ C $ , landen, enden Sie mit einem Pfad von Länge $ | V | - 1 $ zwischen $ V $ und $ W $ . Umgekehrt, wenn Sie einen einfachen Pfad $ P $ der Länge $ | v | - 1 $ zwischen zwei Scheitelpunkten $ V, W $ Mit einer Kante verbunden, können Sie den Edge $ hinzufügen VW $ bis $ P $ , um einen hamiltonischen Zyklus zu erhalten (als $ P $ kann nicht enthalten $ VW $ Aufgrund eines einfachen Pfads). Beobachten Sie auch, dass die Wahl der $ V $ und $ W $ willkürlich ist, solange sie miteinander verbunden sind eine Kante.

Wir können also die folgende Reduktion erzielen: Ausgehend von einem Diagramm $ g= (v, e) $ , wählen Sie etwas Kante $ VW \ in E $ und löschen Sie es, um eine neue Grafik $ g '= (V, E \ SetMinus \ {VW \}) $ zu erhalten. Mit den von uns erstellten Beobachtungen folgt, dass $ g '$ einen Pfad $ P $ zwischen $ V $ und $ W $ von Länge $ | V | - 1 $ Wenn und nur wenn das Hinzufügen von $ VW $ an $ P $ ergibt einen Hamiltonianer Zyklus in der ursprünglichen Grafik $ g $ . Da $ g '$ aus $ G $ in der Polynomzeit berechnet werden, haben wir eine Polynomsenkung < Span-Klasse="Math-Container"> $ \ Mathrm {Hamiltonischer Zyklus} \ l leq_ \ mathsf {p} \ mathrm {long path} $ , wodurch das Problem $ \ mathsf {np} $ -hard (da $ \ mathrm {Hamiltonisch-Zyklus} $ ist $ \ mathsf {np} $ -hard bereits).

Zeigt an, dass $ \ mathrm {long path} $ in $ \ mathsf {np} $ Wir stellen fest, dass ein Pfad in einem Diagramm effizient als eine Liste seiner Kanten kodiert und prüft, dass eine Zeichenfolge tatsächlich einen Pfad in der Grafik codiert und dann die Anzahl der Kanten zählt, um zu bestimmen, ob es lang genug ist, um zu bestimmen, ob es lang genug ist, kann in Polynom erfolgen Zeit.

somit finden wir, dass $ \ mathrm {long path} $ $ \ mathsf {np} $ -Complete.