2つの頂点の間の最長パスの完全性を証明する方法Rieling Hamilton NP-HARD問題

Question

私はこの質問をしています：私は無向グラフg（v、e）を持っています（ここで、v=頂点のセット、E=エッジの集合）。2つの頂点SとT：

の間の最大経路を考えてみましょう

LPATH = {⟨G,s,t,k⟩|There is in G a simple path as long as at least k from s to t}

.

単純経路は、繰り返しの頂点を持たない経路である。すなわち、頂点ごとにただ訪問することができる。経路の長さはそれが構成されている端部から与えられます。

では、LPATHがリファレンスとしてNP-HARD問題としてHamilton Path問題を使用するNP-Completeの問題であることを示す方法は？

Answer 1

サイトへようこそ！ $ g=（v、e）$ を無向グラフにする。 $ g $ がHamiltonianの場合、 $ c $ が存在するvertex、つまり $ c $ の長さを含む数学コンテナ "> $ G $ は $ | v | $ 。 $ c $ からeder $ vw $ を削除した場合は、パスになります。長さ $ | v | - $ v $ と $ w $ の間の1 $ 。 逆に、単純なパス $ p $ が見つかった場合は、 $ | v | - 2つの頂点間の$ $ v、w $ エッジで接続されている $を追加できます。 Hamiltonianサイクルを取得するには、vw $ $ p $ （ $ p $ として含めることはできません $ vw $ 単純なパスであるためです。 また、 $ v $ 、 $ w $ の選択は、それらが接続されている限り任意です。エッジ

だから以下の縮小を得ることができます： いくつかのグラフから始まる $ g=（v、e）$ 、Edge $ vw \ in $ そしてそれを削除して新しいグラフ $ g '=（v、e \ setminus \ {vw \}）$ を取得します。 $ g '$ には、 $ p $ が $ p $ を持っています。 class="math-container"> $ v $ と $ w $ の長さ $ | v | - $ vw $ を $ p $ に追加した場合に限り、$ の場合のみ元のグラフ $ G $ のサイクル。 $ g '$ は、多項式時刻の $ g $ から計算できます、私たちは多項式の減少を持っています< SPAN CLASS="math-container"> $ \ mathrm {Hamiltonian Cycle} \ leq_ \ mathsf {p} \ mathrm {long path} $ 、したがって、あなたの問題は $ \ mathsf {np} $ --hard（ $ \ mathrm {hamiltonian cycle} $ はです。 \ mathsf {np} $ - ハード既に）。

$ \ mathrm {long path} $ の $ \ mathsf {np} $ グラフ内のパスは、そのエッジのリストとして効率的に符号化され、文字列が実際にグラフ内のパスを符号化し、それが十分に長いかどうかを判断するためのエッジ数を数えることを確認することができることに注意してください。時間。

従って、 $ \ mathrm {long path} $ は $ \ mathsf {np} $ -Complete。