Bester Fall "Skew Höhe" eines beliebigen Baums

Question

Angesichts eines beliebigen Binärbaums auf $ N $ Knoten, wählen Sie eine Zuordnung $ A $ von jedem Eltern an einem seiner Kinder (das "bevorzugte Kind", wie es war). Wir definieren die Schräghöhe des Baums als $ h_a (\ mathsf {null})= 0 $ und $ h_a (\ Mathsf {Knoten} \; a \; b)=max (h_a (a), h_a (b) +1) $ Wenn $ A (\ Mathsf {Knoten) } \; a \; b)= A $ ist das bevorzugte Kind und symmetrisch $ \ Max (H_A (A) +1, H_A (B)) $ Wenn $ B $ begünstigt ist.

Die Frage ist: Für einen festen Baum $ t $ , wie ist die minimale Skew-Höhe über alle Aufgaben? Ich möchte ein asymptotisches Gebunden auf $ F (n)=max_ {t |= n} \ min_ah_a (t) $ .

andere Variationen dieses Problems, an dem ich interessiert bin, sind, wenn die Bäume nicht binär sind (aber es gibt immer noch ein bevorzugtes Kind, und alle anderen fügen eine der Höhe hinzu), und wenn es teilt (dh es ist ein Dag), Was nicht die Höhenberechnung beeinträchtigt, erlaubt jedoch viel breitere "Bäume", während er unter dem $ n $ Knoten gebunden bleibt.

Die offensichtlichen Grenzen sind $ f (n)=omega (\ log n) $ und $ f (n )= O (n) $ . Meine Vermutung ist, dass $ F (n)=theta (\ log n) $ für binäre Bäume und $ F ( n)=theta (\ sqrt n) $ für DAGS (mit einer Art Gitterdiagramm als Gegenbeispiel).

Answer 1

für einen binären Baum, lass $ h (t)=min_ah_a (t) $ , wobei $ A $ reicht über alle bevorzugten untergeordneten Zuordnungen von $ t $ . Anruf $ h (t) $ die skew-höhe von $ t $ .

Hier ist eine einfache Beobachtung. Die Schräghöhe eines perfekten Binärbaums von (gewöhnlicher) Höhe $ N $ ist $ n $ auch .

Für einen Binärbaum $ T $ , wird eine Kante als vorbeiziehende Kante bezeichnet, wenn einer der Endpunkte genau ein Kind hat. Wir nennen einen binären Baum $ M $ A B-MILL OF $ T $ Wenn $ M $ kann erhalten werden, indem ein Teilbaum entsteht oder wiederholt eine Überzugsrand auftritt.

für einen binären Baum $ t $ , was ist seine skew-höhe? Hier ist eine visuelle Charakterisierung.

Die Skew-Höhe der $ T $ ist die maximale (gewöhnliche) Höhe aller perfekten Binärbäume, die auch B-Minderjährige von $ T $ . Intuitiv sprechen, ist ein Binärbaum von Skew Height $ s $ $ \ iff $ es" enthält "ein perfekter binärer Baum der gewöhnlichen Höhe $ s $ .

Beweis. Da beide Entfernung eines Teilbahnens und Vertragsrandes eine Übergabereitung nicht erhöhen, erhöhen Sie die Skew-Höhen nicht, $$ H (T) \ GE \ MAX_ { M \ text {ist ein B-Moll of t}} \ mathsf {höhe} (m), $$ wo $ \ mathsf {höhe} (\ cdot) $ $ ist die (gewöhnliche) Höhe eines Baumes. Andererseits können wir durch Induktion an der Anzahl der Knoten von $ T $ zeigen, dass ein binärer Baum von Skew-Höhe $ s $ muss einen B-MILL enthalten, der ein perfekter binärer Baum der gewöhnlichen Höhe ist $ s $ . $ \ Quad \ Checkmark $ .

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erinnern Sie sich, dass $ N $ die Anzahl der Knoten in $ t $ ist. Wir haben, $$ H (T) \ le \ lceil \ log_2 (n + 1) \ RCEIL - 1. $$ $$ Beweis. INDUKTION auf $ N $ . Der Basisfall, $ n= 1 $ ist einfach zu überprüfen.

Angenommen, es ist wahr, wenn die Anzahl der Knoten in $ T $ kleiner ist als $ n $ . Betrachten Sie einen Binärbaum $ T $ von $ N $ Knoten mit Root-Knoten $ r $ .

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• Wenn $ R $ nur ein Kind hat, sagen Sie, sagen Sie, $ A $ , dann $$ h (t)= h (\ Text {The Subtree at} a) \ le \ lceil \ log_2 ((N-1) +1) \ RCEIL - 1 \ le \ lceil \ log_2 (n + 1) \ RCEIL - 1. $$
• Wenn $ R $ zwei Kinder hat, sagen Sie, $ A $ und $ B $ . Da die Anzahl der Knoten in dem Teiltree, das in $ A $ und dem Teilboden, der bei $ B $ verwurzelt ist, verwurzelt ist $ N-1 $ , einer der Teilbäume hat höchstens $ \ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor $ Knoten. WLOG, Angenommen, es ist der Teilbaum, der bei $ B $ verwurzelt ist. Dann $$ H (T)=MAX (H (\ Text {der Teilbaum} A) + 1, H (\ Text {The Subtree verwurzelt auf} b)) \\ \ le \ max (\ lceil \ log_2 (\ lfoor (n-1) / 2 \ rfloor + 1) \ rceil, \ lceil \ log_2 ((n-2) +1) \ RCEIL -1) $$ . Da $$ \ lceil \ log_2 (\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor + 1) \ rcein=lceil \ log_2 (\ lfloor (n + 1) / 2 \ RFOOR) \ RCEIL=lceil \ log_2 (n + 1) \ rceil-1, $$ Wir haben $ h (t) \ le \ lceil \ log_2 (n + 1) \ rceil-1. $ $ \ Quad \ Checkmark $

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erinnern an, dass $ f (n)=max_ {t \ text {ist ein binärer Baum und} | t |= n} h (t) $ . Der obige Abschnitt hat sich als $ F (n) \ le \ lceil \ log_2 (n + 1) \ rceil-1 $ .

Andererseits ist das Schräggewicht des perfekten Binärbaums mit $ 2 ^ M-1 $ -Knoten $ M-1 $ . Daher, $$ F (n)=lceil \ log_2 (n + 1) \ RCEIL-1. $$