임의의 나무의 최고의 케이스 "skew height"

Question

$ n $ 노드에 임의의 바이너리 트리가 주어졌습니다. $ a $ 을 선택하십시오. 부모는 자녀 중 한 명 ( "선호하는 아이"). 우리는 $ h_a (\ mathsf {nil})= 0 $ 및 $ h_a (\ mathsf {node} \; a \; b)=max (h_a (a), h_a (b) +1) $ $ a (\ mathsf {노드 } \; a \; b)= a $ 은 선호하는 자식과 대칭 $ \ max (h_a (a) +1, h_a (b)) $ $ b $ 이 선호됩니다.

문제는 다음과 같습니다. 고정 된 트리 $ T $ 의 경우, 모든 과제에 대한 최소한의 기울기 높이는 무엇입니까? $ f (n)=max_ {| t | |= n} \ min_ah_a (t) $

에 대한 점근환 묶음을 얻고 싶습니다.

이 문제에 대한 다른 변형은 나무가 바이너리가 아닌 것일 때 (그러나 여전히 하나의 선호하는 자식이 있고 모든 다른 모든 사람들이 하나의 높이를 추가 할 때)입니다 (즉, DAG), 높이 계산에는 영향을 미치지 않지만 $ n $ 노드 바인딩 된

에 머무르는 동안 훨씬 더 넓은 "나무"를 허용합니다.

명백한 범위는 $ f (n)=omega (\ log n) $ 및 $ f (n )= o (n) $ . 내 추측은 $ f (n)=theta (\ log n) $ 이진 트리 및 $ f ( n)=theta (\ sqrt n) dags의 경우 $ (조합 샘플로서의 그리드 그래프가있는 경우)

Answer 1

이진 트리의 경우 $ h (t)=min_ah_a (t) $ , 여기서 $ a $ 은 $ T $ 의 모든 선호하는 하위 할당에 대한 범위입니다. $ h (t) $ $ t $ 의 skew 높이를 호출하십시오.

여기에 간단한 관찰이 있습니다. (일반) 높이의 완벽한 바이너리 트리의 비뚤어 짐 높이 $ n $ 은 $ n $ 도 있습니다. .

바이너리 트리 $ T $ 에 대한 엔드 포인트 중 하나가 정확히 한 자식을 갖는 경우 에지를 통과하는 가장자리가 호출됩니다. 우리는 이진 트리 $ m $ b-minor $ T $ 인 경우 $ m $ 은 하위 트리를 제거하거나 통과 에지를 반복적으로 계약하여 얻을 수 있습니다.

바이너리 트리 $ T $ , 비뚤어 짐 높이는 무엇입니까? 다음은 시각적 특성화입니다.

$ T $ 은 B-minors의 B-minors 인 모든 완벽한 이진 트리의 최대 (일반) 높이가 $ T $ . 이진 트리는 비뚤어 짐 높이 $ s $ $ \ iff $ "포함 된 "보통 높이 $ s $ .

증명. 모두 서브 트리를 제거하고 지나가는 가장자리를 체결하기 때문에 $$ h (t) \ ge \ max_ { m \ text {b-minor}} \ mathsf {height} (m), $$ 여기서 $ \ mathsf {height} (\ cdot) $ 은 나무의 (일반) 높이입니다. 한편, $ T $ 의 노드 수에 대한 유도에 의해, 우리는 Skew Height $ S $ 은 보통 높이 $ s $ 의 완벽한 바이너리 트리 인 B-minor를 포함해야합니다. $ \ 쿼드 \ 체크 표시 $ .

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$ n $ 이 $ T $ 의 노드 수입니다. 우리는, $$ H (T) \ LE \ LCEIL \ LOG_2 (n + 1) \ rceil - 1. $$ 증명. $ n $ 에 대한 유도. 기본 케이스, $ n= 1 $ 은 확인하기 쉽습니다.

$ T $ 의 노드 수가 $ n $ 보다 작 으면 true가된다고 가정합니다. ...에 $ n $ 노드의 이진 트리 $ T $ 루트 노드 $ r $ .

• $ r $ 에는 $ a $ , $$ h (t)= h (\ text {\ text} a) \ le \ lceil \ log_2 ((n-1) +1) \ rce - 1 \ Le \ LCE \ log_2 (n + 1) \ rceil - 1. $$
• $ r $ 은 $ a $ 및 $ b $ . $ a $ 및 $ b $ 에 뿌리 둔 노드 수는 $ N-1 $ , 하위 트리 중 하나는 $ \ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor $에 있습니다. 노드. WLOG는 $ B $ 에 뿌리 둔 하위 트리임을 가정합니다. 그때 $$ H (t)=max (h (h (\ text {하위 트리 at} a) + 1, h (\ text {at} b) \ 텍스트 {\ the} b) \\ \ Le \ Max (\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor + 1) \ rceil, \ lceil \ log_2 ((n-2) +1) \ rceil -1) $$ $$ \ LCEIL \ LOG_2 (\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor + 1) \ rceil=lceil \ log_2 (\ lfloor (n + 1) / 2 \ rfloor) \ rceil=lceil \ log_2 (n + 1) \ rceil-1, $$ 우리는 $ h (t) \ LE \ LCEIL-1. $ $ \ 쿼드 \ 체크 표시 $

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$ f (n)=max_ {t \ text {이진 트리 및} | t |= n} h (t) $ . 위 섹션에서는 $ F (n) \ LE \ LCEIL \ LOG_2 (n + 1) \ rceil-1 $ 을 입증했습니다.

반면에 $ 2 ^ m-1 $ 노드가있는 완벽한 이진 트리의 비뚤어 짐의 무게는 $ M-1 $ . 그 후, $$ F (n)=LCEIL \ LOG_2 (n + 1) \ rceil-1. $$