Zählen von Schaltungen mit Einschränkungen

Question

Bitte vergib mir, wenn diese Frage trivial ist, ich konnte keine Antwort aufrufen (noch eins finden).

Um zu zeigen, dass es boolesche Funktionen gibt $ F: \ {0,1 \} ^ n \ Rightarrow \ {0,1 \} $ was kann Berechnet werden nur mit Stromkreisen $ \ Omega (2 ^ n / n) $ , wir verwenden ein Zählargument: Es gibt höchstens $ o (2 ^ {k \ log K}) $ Schaltkreise der Größe $ K $ , und $ 2 ^ {2 ^ n} $ solche Funktionen.

Angenommen, ich interessiere mich, dass ich mich für die Zählung von Stromkreisen $ K $ , die verschiedene Funktionen berechnen, interessiert. Das "einfache" Zählargument funktioniert nicht, da es möglich ist, dass zwei "syntaktisch" verschiedene Schaltungen tatsächlich dieselbe Funktion berechnen. Mit anderen Worten, ich möchte die Größe des Sets gebunden: $$ F= {F: \ {0,1 \} ^ n \ rightarrow \ {0,1 \} | f \ text {kann mit einer Schaltung der Größe} k \} $$ berechnet werden} k \} $$

dann $ | f | <$ Die Anzahl der Schaltkreise der Größe $ K $ (da jede Schaltung eine Funktion berechnet), aber wie kann ich $ | f | $ von unten? (d. H. $ x <| f | $ )

Answer 1

Um die Anzahl der von den Stromkreisen der Größe der Größe $ K $ berechnen zu können, haben Sie mindestens zwei Optionen:

.
• Konstruieren Sie eine große Anzahl von Stromkreisen der Größe $ K $ , die mit dem Bau verschiedene Funktionen berechnen.
• Betrachten Sie eine natürliche Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Schaltkreisen der Größe $ K $ , und schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zufallsschaltungen dieselbe Funktion berechnen.

Als Beispiel ist es bekannt, dass jede Funktion auf $ M $ Variablen von einer Kreislauf der Größe berechnet werden kann> $ O (2 ^ m / m) $ . Durch Betrachten der Funktionen des Formulars $ F_1 (x_1, \ ldots, x_m) \ lor \ cdoTs \ lor f_ {n / m} (x_ {n-m + 1}, \ ldots , x_n) $ , dies zeigt, dass es mindestens $ (2 ^ {2 ^ m}) gibt ^ {n / m} $ verschiedene Funktionen berechnet durch Schaltungen der Größe $ k= O (N2 ^ m / m ^ 2) $ . In Bezug auf den $ K $ ist die Anzahl der Funktionen in etwa exponentiell in $ k \ log K $ , für $ m \ gg \ log n $ .