Was ist die Relevanz der Berufsfähigkeit beim Anwenden der Diagonallisierung?

Question

Wenn ich über die Diagonalisierung nachgedacht, habe ich immer darüber gefallen, ob die Aufzählung oder nicht die Diagonale arbeitet oder nicht.Wann ist es wichtig?

zum Beispiel, das eine Aufzählung der rationalen Nummern in einer nicht komputierbaren Reihenfolge aufweist, müssten wir annehmen, dass entweder eine nicht komputierbare Aufzählung der Rationals existiert, oder die Diagonale gibt eine nicht mehrfacher Anzahl?

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oder Angenommen, wir hatten eine Aufzählung eines zählbaren, aber nicht rekursiven Sets.Würde die Diagonalisierung eine nicht komputierbare Anzahl erstellen?

oder wenn wir davon ausgehen, dass wir eine berechenbare Aufzählung der berechenbaren echten Zahlen haben, und wir müssten darauf diagonalisieren, dann müssten wir davon ausgehen, dass die Nummer auf der Diagonale nicht komputabel ist?Etwas scheint hier falsch zu sein.

Im Allgemeinen, was sind die Fänge, wenn Sie eine Diagonalisierung zur Berechnung der Berechnung beziehen?

Answer 1

Es gibt keine Fänge. Die Diagonalisierung ist eine sehr allgemeine Proof-Technik, die in der klassischen, konstruktiven und berechenbaren Umgebung arbeitet. Es wird verwendet, um zu beweisen:

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• dass es keinen Gegenstieg von einem Set mit seinem Powerset
gibt
• dass die realen Zahlen nicht aufgezählt werden können
• dass die berechenbaren reellen Zahlen nicht berechtigt sind,
aufzulagert werden können
• dass das Halting Oracle nicht existiert
• etc.

In seiner allgemeinsten Form ist es bekannt als Fixpunkt des Lawvere-Satzes .

Sie fragen, was passiert, wenn Sie gegen die rationalen Zahlen diagonalisieren. Sie haben nicht angemeldet, in welcher Form die Rationalen gegeben sind, ich sei vorausgesetzt, Sie meinen ihre Dezimalausweitung. Die Diagonalisierung erzeugt eine reelle Zahl, die kein Mitglied der Aufzählung ist (dieses echte kann rational oder irrational sein, je nachdem, welche Aufzählung, mit der Sie angefangen haben). Wenn Sie mit einer nicht berechenbaren Aufzählung beginnen, kann das Ergebnis nicht berechenbar sein. Wenn Sie mit einer berechenbaren Aufzählung beginnen, erhalten Sie ein berechenbares Ergebnis, da die Diagonalisierung Berechtigungsfähigkeit erhält.

Ebenso, wenn Sie eine berechnende Aufzählung der berechenbaren reellen Nummern (als unendliche Sequenz von Ziffern) annehmen, ist das Ergebnis der Diagonalisierung eine berechenbare reelle Zahl, die kein Mitglied der Startaufzählung ist.

Answer 2

Ich bin nicht sicher, wie ich die allgemeine Frage beantworten soll, aber für die spezifischen:

zum Beispiel, das eine Aufzählung der rationalen Nummern in einer nicht komputierbaren Reihenfolge aufweist, müssten wir annehmen, dass entweder eine nicht komputierbare Aufzählung der Rationals existiert, oder die Diagonale gibt eine nicht mehrfacher Anzahl?

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Warum nicht nur eine irrationale Zahl?

oder Angenommen, wir hatten eine Aufzählung eines zählbaren, aber nicht rekursiven Sets.Würde die Diagonalisierung eine nicht komputierbare Anzahl erstellen?

für den Satz aller berechneten Zahlen Ja.

oder wenn wir annehmen, dass wir eine berechenbare Aufzählung der berechenbaren realen Zahlen haben, und wir müssten darauf diagonalisieren, dann müssten wir davon ausgehen, dass die Nummer auf der Diagonale nicht miteinander ist?

Es ist eindeutig berechenbar, sodass Sie nachweisen, dass Sie keine berechnende Aufzählung aller berechneten realen Zahlen haben können.