qual é a relevância de computability ao aplicar diagonallization?

Question

Ao pensar sobre diagonalization, eu sempre encoberto se ou não a enumeração, ou a diagonal é computável ou não.Quando será que isso importa?

Digamos, por exemplo, que tem uma enumeração dos nī umeros racionais em um uncomputable ordem, então teríamos de assumir que um uncomputable enumeração dos rationals não existe, ou a diagonal dá um uncomputable número?

Ou suponha que nós tivemos uma enumeração de um contável e não-recursiva definida.Seria diagonalization produzir um uncomputable número?

Ou se vamos supor que temos uma computável enumeração dos computável números reais, e nós não diagonalization sobre ele, então teríamos de supor que o número de diagonais é uncomputable?Algo parece errado aqui.

Em geral, quais são as capturas ao fazer diagonalization pertencentes a computability?

Answer 1

Não há capturas.Diagonalization é muito geral, a prova técnica, que trabalha no clássico, construtiva e computáveis definição.Ele é usado para provar:

• que não há surjection a partir de um conjunto de powerset
• que os números reais podem ser enumerado
• que o computáveis números reais não podem ser enumerados computably
• que a suspensão do oracle não existe
• etc.

Na sua forma mais geral é conhecido como Lawvere do ponto fixo teorema.

Você pergunta o que acontece se você diagonalize contra os nī umeros racionais.Você não especificou de que forma o rationals são dadas, que eu estou supondo que você quer dizer de suas expansões decimais.O diagonalization irá produzir um número real que não é um membro da enumeração (este real pode ser racional ou irracional, dependendo do que a enumeração você começou com).Se você começar com um não-computável de enumeração, o resultado pode ser não-computável.Se você começar com uma computável enumeração, você vai ter um computável resultado, porque diagonalization preserva computability.

Da mesma forma, se você tomar um computável enumeração de computáveis números reais (dado como seqüências infinitas dos dígitos), o resultado da diagonalization vai ser um computável número real que não é um membro da partida de enumeração.

Answer 2

Não tenho certeza de como responder à pergunta geral, mas para os específicos:

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Diga, por exemplo, que têm uma enumeração dos números racionais em uma ordem desconsutível, então teríamos que assumir que uma enumeração desconsutível dos racionais não existe ou a diagonal fornece um número desconsutível?

Por que não apenas um número irracional?

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ou suponha que tivéssemos uma enumeração de um conjunto contável, mas não recursivo.A diagonalização produziria um número descompetível?

Para o conjunto de todos os números computáveis Sim.

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ou se assumirmos que temos uma enumeração computável dos números reais computáveis, e nós fazemos a diagonalização, então teríamos que assumir que o número na diagonal é incompreensível?

É claramente computável, provavelmente, você não pode ter uma enumeração computável de todos os números reais computáveis.