Wiederholung mit einer Funktion von n-mal t ()

Question

Die Master-Methode funktioniert gut auf Probleme wie $ t (n)= kt (ANNE) + CN $ , aber es handhabt nicht mit Problemen $$ t (n)= n ^ {\ frac {1} {3}} t (n ^ {\ frac {2} {3}}) + N ^ 2 $$ Mit der Anzahl der Zweige für jede Partition ist eine Funktion von $ n $ .Ich frage mich, ob es eine gute Lösung für diese Art von Problemen gibt. Ich habe keine Ahnung, wie Sie dies lösen können, jede Hilfe wird geschätzt!

Answer 1

Sie können die elementare Methode verwenden, in der Sie das Wiederauftreten erweitern: \ beginnen {ALIGN} T (n) &= n ^ 2 + n ^ {1/3} t (n ^ {2/3}) \\ &= n ^ 2 + n ^ {5/3} + n ^ {5/9} T (n ^ {4/9}) \\ &= n ^ 2 + n ^ {5/3} + n ^ {10/9} + n ^ {19/27} t (n ^ {8/27} ) \\ &=cdots \ END {ALIGN} Dies deutet darauf hin, dass $ t (n)= o (n ^ 2) $ . Tatsächlich versuchen wir, sich durch Induktion zu beweisen, dass $ t (n) \ leq cn ^ 2 $ : $$ T (n) \ leq n ^ 2 + n ^ {1/3} \ cdot cn ^ {4/3}= n ^ 2 \ links (1 + \ frac {c} {n ^ {1/3}} \ Recht), $$ Welches ist höchstens $ cn ^ 2 $ für jeden $ c> 1 $ und groß genug $ n $ (je nach $ C $ ).

in der Tat, definieren $ s (n)= t (n) - n ^ 2 $ , wir haben $$ S (n)= n ^ {5/3} + n ^ {1/3} s (n ^ {2/3}), $$ Also zeigt das gleiche Argument, dass $ s (n)= o (n ^ {5/3}) $ und so $ T (n)= n ^ 2 + o (n ^ {5/3}) $ . Auf dieselbe Weise können wir $ t (n)= n ^ 2 + n ^ {5/3} + o (n ^ {10/9}) $ und so weiter.