Agregar categoría al tipo de publicación personalizada automáticamente, usando una pala de categoría

Question

Estoy usando Esta excelente función Para agregar automáticamente una categoría a mi tipo de publicación personalizado "Videos" en Publicar, si ya no se elige la categoría. Esto funciona muy bien:

function add_video_category_automatically($post_ID) {
    global $wpdb;
    if(!has_term('','category',$post_ID)){
        $cat = array(394);
        wp_set_object_terms($post_ID, $cat, 'category');
    }
}
add_action('publish_videos', 'add_video_category_automatically');

Pero, realmente me gustaría obtener el ID de categoría a través de la babosa, para que no tenga que cambiarla manualmente cuando estoy probando en localhost frente al sitio en vivo (que puede tener una identificación diferente para esa categoría como localhost y el sitio en vivo no está sincronizado).

He probado una serie de opciones, pero todas ellas dan como resultado una categoría de "394" asignada a nuevas publicaciones, en lugar de "videos". Aquí está mi último intento. ¿Puedes decirme a dónde me estoy equivocando?

function add_video_category_automatically($post_ID) {
    global $wpdb;
    if(!has_term('','category',$post_ID)){
        $category = get_term_by( 'slug', 'videos', 'category' );
        $cat = array($category->term_id);
        wp_set_object_terms($post_ID, $cat, 'category');
    }
}
add_action('publish_videos', 'add_video_category_automatically');

¡Gracias!