Justificación recursiva del algoritmo Viterbi

Question

Tengo una pregunta sobre la recursión en Algoritmo de Viterbi.

Defina $ pi (k; u; v) $, que es la probabilidad máxima para cualquier secuencia de longitud $ k $, que termina en la etiqueta bigram $ (u; v) $.

El caso base si es obvio $ pi (0,*,*) = 1 $

El caso general.

$ pi (k, u, v) = max_ {w in k_ {k-2}} pi (k-1, w, u) cdot q (v | w, u) cdot e (x_k | v) $

El autor justifica la recursión como Folllows:

¿Cómo podemos justificar esta recurrencia? Recuerde que $ pi (k, u, v) $ es la probabilidad más alta para cualquier secuencia $ y _ { - 1} ... y_k $ termina en el bigram $ (u, v) $. Cualquier secuencia de este tipo debe tener $ y_ {k - 2} = w $ por algún estado $ w $. La mayor probabilidad de cualquier secuencia de longitud $ k - 1 $ finalización en el bigram $ (w, u) $ es $ pi (k - 1, w, u) $, de ahí la mayor probabilidad para cualquier secuencia de longitud $ k $ finalización en el trigram $ (w, u, v) $ debe ser $ pi (k - 1, w, u) cdot q (v | w, u) cdot e (x_k | v) $

No entiendo por qué es realmente cierto, creo que es posible llegar a $ pi (n, u, v) $ de cualquier $ (n-1, w, u) $ en realidad no es el máximo de $ pi (n- 1, w, u) $ solo porque $ q (v | w, u) cdot e (x_k | v) $ podría tener una mayor influencia en los $ (n, u, v) resultantes que cualquier $ pi ( N-1, W, U) $.

Agradecería si alguien pudiera explicarme por qué es cierto.