Contando circuitos con restricciones.

Question

Por favor, perdóname si esta pregunta es trivial, no podría encontrar una respuesta (ni encontrar una).

Para demostrar que hay funciones booleanas $ f: \ {0,1 \} \ {0,1}} \ {0,1} \ {0,1}} \ {0,1} $ que puede Se calcule solo usando circuitos de tamaño $ \ omega (2 ^ n / n) $ , usamos un argumento de conteo: hay como máximo $ o (2 ^ {k \ log k}) $ circuitos de tamaño $ k $ , y $ 2 ^ {2 ^ n} $ tales funciones.

Supongamos que estoy interesado en contar circuitos de tamaño $ k $ que calculan diferentes funciones. El argumento de conteo "simple" no funcionará, ya que puede ser posible que dos circuitos diferentes "sintácticamente" puedan calcular la misma función. En otras palabras, quiero limitar el tamaño del conjunto: $$ f={f: \ {0,1 \} ^ n \ rudotrow \ {0,1 \} | F \ Texto {se puede calcular utilizando un circuito de tamaño} K \} $$

luego $ | F | <$ El número de circuitos de tamaño $ k $ (ya que cualquier circuito calcula una función), pero ¿cómo puedo atar a $ | F | $ desde abajo? (es decir, $ x <| f | $ )

Answer 1

Para limitar el número de funciones calculadas por circuitos de tamaño $ k $ , tiene al menos dos opciones:

• construir una gran cantidad de circuitos de tamaño $ k $ , que por construcción calculan diferentes funciones.
• Considere una distribución de probabilidad natural en circuitos de tamaño $ k $ y estime la probabilidad de que dos circuitos aleatorios calculen la misma función.

Como ejemplo, se sabe que cada función en $ m $ las variables se pueden calcular mediante un circuito de tamaño $ O (2 ^ m / m) $ . Al considerar las funciones de la forma $ f_1 (x_1, \ ldots, x_m) \ lor \ codots \ lor f_ {n / m} (x_ {n-m + 1}, \ ldots , x_n) $ , esto muestra que hay al menos $ (2 ^ {2 ^ m}) ^ {n / m} $ Diferentes funciones computadas por circuitos de tamaño $ k= o (n2 ^ m / m ^ 2) $ . En términos de $ k $ , la cantidad de funciones es aproximadamente exponencial en $ k \ log k $ , para $ m \ gg \ log n $ .