Convertir un número binario repetido a decimal (¿expresarlo como una serie?)

Question

Dado un número binario que se repite, por ejemplo 0.(0011) o 0.0(101), ¿cómo se convertiría a decimal?

Lo que he podido desenterrar hasta ahora es el método simple para convertir un número binario terminal a decimal, como se muestra a continuación:

res(N+2) = res(N+1) / 2 + res(N)

donde res es el resultado después del paso N y N es la iteración actual (N=0;n->(núm. dígitos binarios)).Aplicar eso repetidamente a un número binario no terminado da una buena aproximación, por ejemplo

dec:0.4 || bin: 0.(0110):

0     / 2 + 0 = 0
0     / 2 + 0 = 0
0     / 2 + 1 = 1
1/2   / 2 + 1 = 3/2
3/2   / 2 + 0 = 3/4
3/4   / 2 + 0 = 3/8
3/8   / 2 + 1 = 19/16
19/16 / 2 + 1 = 51/32
51/32 / 2 + 0 = 51/64
51/64 / 2 + 0 = 51/128 = 0.3984

que es aproximadamente 0,4.

Entonces, tengo una forma de calcular aproximaciones, pero me cuesta encontrar una manera de expresar esto.Comencé a intentar escribirlo como una serie que puedo calcular en el límite como n->inf sin mucho éxito hasta ahora.

Answer 1

Una forma de obtener una respuesta exacta es utilizando series geométricas infinitas.La suma infinita de potencias de una fracción r, para exponentes del 1 al infinito, 0 <= r < 1, es r/(1-r).

En su ejemplo, 0.(0011), 0.0011 representa la fracción 3/16.Factoriza el 3 y obtienes r=1/16.r/(1-r) = (1/16)/(15/16) = 1/15.Multiplica eso por los 3 que factorizaste y obtendrás tu respuesta:3/15 = 1/5 = 0,2.

Answer 2

  

Dado un número binario que se repite, por ejemplo 0. (0011) o 0,0 (101), cómo uno va sobre la conversión a decimal?

Esto puede resolverse (es decir, la cantidad racional exacta puede ser determinada) en binario de la misma manera como en decimal. En decimal, si tenemos, por ejemplo, 0.(567), y queremos determinar la cantidad racional exacta que representa, simplemente tomar 567 como nuestro numerador y 999 (el número que tiene ns 9, donde n es el número de dígitos de la grupo) repetir como nuestro denominador:

0.(567) = 567/999 = 189/333 = 63/111

que ahora está en su mínima expresión. Este proceso es una destilación del infinito resultado completo serie geométrica mencionado por @Rick Regan .

En binaria que hacemos lo mismo, excepto que en lugar de ns 9 como nuestro denominador, queremos ns 1 (como 1 es el dígito más alto en binario). Así, por ejemplo

0.(0011) = 0011 / 1111 =(in decimal) 3/15 = 1/5

Cuando usted tiene dígitos antes de que el grupo de repetición, acaba de hacer un poco de aritmética en torno a este cálculo:. Por ejemplo, 0.0(101) es sólo 0.(101) dividido por 2. Este último es 101 / 111 o 5/7, por lo que es 0.0(101) 5/14

Answer 3

Incluso los equipos no lo consigue del todo bien. Por lo general, el valor es simplemente redondeado. Si comienza a mostrar valores de coma flotante con demasiada precisión, que va a terminar con los valores extraños como 0,3984 en lugar de 0,4.

Convertir cualquier decimal de cualquier base a otra base menudo induce una pérdida de precisión. No se puede recuperar que mágicamente. Es la razón principal por la que nunca se debe utilizar flotadores o dobles en un programa que cuenta cosas importantes como el dinero.

Sigue adelante hasta que se considera que has ben lo suficientemente precisa, y alrededor de ella fuera.

Answer 4

Puede poner todo junto en un solo paso si lo hace lo mismo que en decimal utilizando el mayor dígito (9 en la base 10, 1 en base 2) el número de veces igual a los dígitos repetidos y 0s igual a la número de dígitos antes de los dígitos repetidos. Con suerte el ejemplo aclara esto:

0.196(2) = (196*9 + 2)/(9000)
0.12(034) = (12*999 + 34)/99900

b0.01(011) = (b1*b111 + b11)/b11100 = (1*7 + 3)/(7*4) = 10/28