Escribir tu propia función de raíz cuadrada
https://stackoverflow.com/questions/1623375
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06-07-2019 - |
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¿Cómo se escribe su propia función para encontrar la raíz cuadrada más precisa de un entero?
Después de buscarlo en Google, encontré this (archivado desde su enlace original ), pero primero, no lo entendí completamente, y segundo, también es aproximado.
Suponga que la raíz cuadrada es el entero más cercano (a la raíz real) o un flotante.
Solución
Lo siguiente calcula floor (sqrt (N)) para N > 0:
x = 2^ceil(numbits(N)/2)
loop:
y = floor((x + floor(N/x))/2)
if y >= x
return x
x = y
Esta es una versión del método de Newton dada en Crandall & amp; Pomerance, & Quot; Números primos: una perspectiva computacional & Quot ;. La razón por la que debe usar esta versión es que las personas que saben lo que están haciendo han demostrado que converge exactamente al piso de la raíz cuadrada, y es simple, por lo que la probabilidad de cometer un error de implementación es pequeña. También es rápido (aunque es posible construir un algoritmo aún más rápido, pero hacerlo correctamente es mucho más complejo). Una búsqueda binaria implementada correctamente puede ser más rápida para N muy pequeñas, pero también puede usar una tabla de búsqueda.
Para redondear al entero más cercano , solo calcule t = floor (sqrt (4N)) usando el algoritmo anterior. Si se establece el bit menos significativo de t, elija x = (t + 1) / 2; de lo contrario, elija t / 2. Tenga en cuenta que esto se redondea en un empate; también puede redondear hacia abajo (o redondear a pares) mirando si el resto no es cero (es decir, si t ^ 2 == 4N).
Tenga en cuenta que no necesita usar aritmética de punto flotante. De hecho, no deberías. Este algoritmo debe implementarse enteramente usando enteros (en particular, las funciones floor () solo indican que se debe usar la división entera regular).
Otros consejos
Dependiendo de sus necesidades, se puede utilizar una estrategia simple de divide y vencerás. No convergerá tan rápido como algunos otros métodos, pero puede ser mucho más fácil de entender para un novato. Además, dado que es un algoritmo O (log n) (reducir a la mitad el espacio de búsqueda en cada iteración), el peor de los casos para un flotante de 32 bits será 32 iteraciones.
Digamos que quieres la raíz cuadrada de 62.104. Elige un valor a medio camino entre 0 y eso, y lo eleva al cuadrado. Si el cuadrado es más alto que su número, debe concentrarse en números menores que el punto medio. Si es demasiado bajo, concéntrese en los más altos.
Con las matemáticas reales, podría seguir dividiendo el espacio de búsqueda en dos para siempre (si no tiene una raíz cuadrada racional). En realidad, las computadoras eventualmente se quedarán sin precisión y tendrás tu aproximación. El siguiente programa en C ilustra el punto:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main (int argc, char *argv[]) {
float val, low, high, mid, oldmid, midsqr;
int step = 0;
// Get argument, force to non-negative.
if (argc < 2) {
printf ("Usage: sqrt <number>\n");
return 1;
}
val = fabs (atof (argv[1]));
// Set initial bounds and print heading.
low = 0;
high = mid = val;
oldmid = -1;
printf ("%4s %10s %10s %10s %10s %10s %s\n",
"Step", "Number", "Low", "High", "Mid", "Square", "Result");
// Keep going until accurate enough.
while (fabs(oldmid - mid) >= 0.00001) {
oldmid = mid;
// Get midpoint and see if we need lower or higher.
mid = (high + low) / 2;
midsqr = mid * mid;
printf ("%4d %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f ",
++step, val, low, high, mid, midsqr);
if (mid * mid > val) {
high = mid;
printf ("- too high\n");
} else {
low = mid;
printf ("- too low\n");
}
}
// Desired accuracy reached, print it.
printf ("sqrt(%.4f) = %.4f\n", val, mid);
return 0;
}
Aquí hay un par de ejecuciones para que tenga una idea de cómo funciona. Para 77:
pax> sqrt 77
Step Number Low High Mid Square Result
1 77.0000 0.0000 77.0000 38.5000 1482.2500 - too high
2 77.0000 0.0000 38.5000 19.2500 370.5625 - too high
3 77.0000 0.0000 19.2500 9.6250 92.6406 - too high
4 77.0000 0.0000 9.6250 4.8125 23.1602 - too low
5 77.0000 4.8125 9.6250 7.2188 52.1104 - too low
6 77.0000 7.2188 9.6250 8.4219 70.9280 - too low
7 77.0000 8.4219 9.6250 9.0234 81.4224 - too high
8 77.0000 8.4219 9.0234 8.7227 76.0847 - too low
9 77.0000 8.7227 9.0234 8.8730 78.7310 - too high
10 77.0000 8.7227 8.8730 8.7979 77.4022 - too high
11 77.0000 8.7227 8.7979 8.7603 76.7421 - too low
12 77.0000 8.7603 8.7979 8.7791 77.0718 - too high
13 77.0000 8.7603 8.7791 8.7697 76.9068 - too low
14 77.0000 8.7697 8.7791 8.7744 76.9893 - too low
15 77.0000 8.7744 8.7791 8.7767 77.0305 - too high
16 77.0000 8.7744 8.7767 8.7755 77.0099 - too high
17 77.0000 8.7744 8.7755 8.7749 76.9996 - too low
18 77.0000 8.7749 8.7755 8.7752 77.0047 - too high
19 77.0000 8.7749 8.7752 8.7751 77.0022 - too high
20 77.0000 8.7749 8.7751 8.7750 77.0009 - too high
21 77.0000 8.7749 8.7750 8.7750 77.0002 - too high
22 77.0000 8.7749 8.7750 8.7750 76.9999 - too low
23 77.0000 8.7750 8.7750 8.7750 77.0000 - too low
sqrt(77.0000) = 8.7750
Para 62.104:
pax> sqrt 62.104
Step Number Low High Mid Square Result
1 62.1040 0.0000 62.1040 31.0520 964.2267 - too high
2 62.1040 0.0000 31.0520 15.5260 241.0567 - too high
3 62.1040 0.0000 15.5260 7.7630 60.2642 - too low
4 62.1040 7.7630 15.5260 11.6445 135.5944 - too high
5 62.1040 7.7630 11.6445 9.7037 94.1628 - too high
6 62.1040 7.7630 9.7037 8.7334 76.2718 - too high
7 62.1040 7.7630 8.7334 8.2482 68.0326 - too high
8 62.1040 7.7630 8.2482 8.0056 64.0895 - too high
9 62.1040 7.7630 8.0056 7.8843 62.1621 - too high
10 62.1040 7.7630 7.8843 7.8236 61.2095 - too low
11 62.1040 7.8236 7.8843 7.8540 61.6849 - too low
12 62.1040 7.8540 7.8843 7.8691 61.9233 - too low
13 62.1040 7.8691 7.8843 7.8767 62.0426 - too low
14 62.1040 7.8767 7.8843 7.8805 62.1024 - too low
15 62.1040 7.8805 7.8843 7.8824 62.1323 - too high
16 62.1040 7.8805 7.8824 7.8815 62.1173 - too high
17 62.1040 7.8805 7.8815 7.8810 62.1098 - too high
18 62.1040 7.8805 7.8810 7.8807 62.1061 - too high
19 62.1040 7.8805 7.8807 7.8806 62.1042 - too high
20 62.1040 7.8805 7.8806 7.8806 62.1033 - too low
21 62.1040 7.8806 7.8806 7.8806 62.1038 - too low
22 62.1040 7.8806 7.8806 7.8806 62.1040 - too high
23 62.1040 7.8806 7.8806 7.8806 62.1039 - too high
sqrt(62.1040) = 7.8806
Para 49:
pax> sqrt 49
Step Number Low High Mid Square Result
1 49.0000 0.0000 49.0000 24.5000 600.2500 - too high
2 49.0000 0.0000 24.5000 12.2500 150.0625 - too high
3 49.0000 0.0000 12.2500 6.1250 37.5156 - too low
4 49.0000 6.1250 12.2500 9.1875 84.4102 - too high
5 49.0000 6.1250 9.1875 7.6562 58.6182 - too high
6 49.0000 6.1250 7.6562 6.8906 47.4807 - too low
7 49.0000 6.8906 7.6562 7.2734 52.9029 - too high
8 49.0000 6.8906 7.2734 7.0820 50.1552 - too high
9 49.0000 6.8906 7.0820 6.9863 48.8088 - too low
10 49.0000 6.9863 7.0820 7.0342 49.4797 - too high
11 49.0000 6.9863 7.0342 7.0103 49.1437 - too high
12 49.0000 6.9863 7.0103 6.9983 48.9761 - too low
13 49.0000 6.9983 7.0103 7.0043 49.0598 - too high
14 49.0000 6.9983 7.0043 7.0013 49.0179 - too high
15 49.0000 6.9983 7.0013 6.9998 48.9970 - too low
16 49.0000 6.9998 7.0013 7.0005 49.0075 - too high
17 49.0000 6.9998 7.0005 7.0002 49.0022 - too high
18 49.0000 6.9998 7.0002 7.0000 48.9996 - too low
19 49.0000 7.0000 7.0002 7.0001 49.0009 - too high
20 49.0000 7.0000 7.0001 7.0000 49.0003 - too high
21 49.0000 7.0000 7.0000 7.0000 49.0000 - too low
22 49.0000 7.0000 7.0000 7.0000 49.0001 - too high
23 49.0000 7.0000 7.0000 7.0000 49.0000 - too high
sqrt(49.0000) = 7.0000
Un método simple (pero no muy rápido) para calcular la raíz cuadrada de X:
squareroot(x)
if x<0 then Error
a = 1
b = x
while (abs(a-b)>ErrorMargin)
a = (a+b)/2
b = x/a
endwhile
return a;
Ejemplo: raíz cuadrada (70000)
a b
1 70000
35001 2
17502 4
8753 8
4381 16
2199 32
1116 63
590 119
355 197
276 254
265 264
Como puede ver, define un límite superior e inferior para la raíz cuadrada y estrecha el límite hasta que su tamaño sea aceptable.
Existen métodos más eficientes, pero este ilustra el proceso y es fácil de entender.
Solo tenga cuidado de establecer el Margen de error en 1 si usa números enteros; de lo contrario, tiene un bucle sin fin.
Permítanme señalar un método extremadamente interesante para calcular una raíz cuadrada inversa 1 / sqrt (x) que es una leyenda en el mundo del diseño de juegos porque es increíblemente rápido. O espera, lee la siguiente publicación:
http://betterexplained.com/articles/understanding-quakes -fast-inverse-square-root /
PD: Sé que solo quieres la raíz cuadrada, pero la elegancia del terremoto superó toda resistencia de mi parte :)
Por cierto, el artículo mencionado anteriormente también habla sobre la aburrida aproximación de Newton-Raphson en alguna parte.
Por supuesto que es aproximado; así es como funcionan las matemáticas con números de punto flotante.
De todos modos, la forma estándar es con Método de Newton . Esto es casi lo mismo que usar la serie de Taylor, la otra forma que me viene a la mente de inmediato.
Calcular raíz cuadrada con precisión arbitraria en Python
#!/usr/bin/env python
import decimal
def sqrt(n):
assert n > 0
with decimal.localcontext() as ctx:
ctx.prec += 2 # increase precision to minimize round off error
x, prior = decimal.Decimal(n), None
while x != prior:
prior = x
x = (x + n/x) / 2 # quadratic convergence
return +x # round in a global context
decimal.getcontext().prec = 80 # desirable precision
r = sqrt(12345)
print r
print r == decimal.Decimal(12345).sqrt()
Salida:
111.10805551354051124500443874307524148991137745969772997648567316178259031751676
True
Es una pregunta de entrevista común hecha por Facebook, etc. No creo que sea una buena idea usar el método de Newton en una entrevista. ¿Qué pasa si el entrevistador le pregunta el mecanismo del método de Newton cuando realmente no lo entiende?
Proporcioné una solución basada en búsqueda binaria en Java que creo que todos pueden entender.
public int sqrt(int x) {
if(x < 0) return -1;
if(x == 0 || x == 1) return x;
int lowerbound = 1;
int upperbound = x;
int root = lowerbound + (upperbound - lowerbound)/2;
while(root > x/root || root+1 <= x/(root+1)){
if(root > x/root){
upperbound = root;
} else {
lowerbound = root;
}
root = lowerbound + (upperbound - lowerbound)/2;
}
return root;
}
Puede probar mi código aquí: leetcode: sqrt (x)
Encontré un excelente artículo sobre Integer Square Raíces .
Esta es una versión ligeramente mejorada que presenta allí:
unsigned long sqrt(unsigned long a){
int i;
unsigned long rem = 0;
unsigned long root = 0;
for (i = 0; i < 16; i++){
root <<= 1;
rem = (rem << 2) | (a >> 30);
a <<= 2;
if(root < rem){
root++;
rem -= root;
root++;
}
}
return root >> 1;
}
Aquí hay una forma de obtener una raíz cuadrada usando trigonometría. No es el algoritmo más rápido a largo plazo, pero es preciso. El código está en javascript:
var n = 5; //number to get the square root of
var icr = ((n+1)/2); //intersecting circle radius
var sqrt = Math.cos(Math.asin((icr-1)/icr))*icr; //square root of n
alert(sqrt);
Hay un algoritmo que estudié en la escuela que puede usar para calcular raíces cuadradas exactas (o de precisión arbitrariamente grande si la raíz es un número irracional). Definitivamente es más lento que los algoritmos de Newton, pero es exacto. Digamos que quieres calcular la raíz cuadrada de 531.3025
Lo primero es dividir su número a partir del punto decimal en grupos de 2 dígitos:
{5} {31}. {30} {25}
Entonces:
1) Encuentre la raíz cuadrada más cercana para el primer grupo que sea más pequeña o igual a la raíz cuadrada real del primer grupo: sqrt ({5}) & Gt; = 2. Esta raíz cuadrada es el primer dígito de su respuesta final. Vamos a denotar los dígitos que ya hemos encontrado de nuestra raíz cuadrada final como B. Entonces, en este momento B = 2.
2) Luego calcule la diferencia entre {5} y B ^ 2: 5 - 4 = 1.
3) Para todos los grupos posteriores de 2 dígitos, haga lo siguiente:
Multiplique el resto por 100, luego agréguelo al segundo grupo: 100 + 31 = 131.
Encuentre X: el siguiente dígito de su raíz, de modo que 131 & Gt; = ((B * 20) + X) * X. X = 3. 43 * 3 = 129 & Lt; 131. Ahora B = 23. También porque no tiene más grupos de 2 dígitos a la izquierda de los puntos decimales, ha encontrado todos los dígitos enteros de su raíz final.
4) Repita lo mismo para {30} y {25}. Entonces tienes:
{30}: 131 - 129 = 2. 2 * 100 + 30 = 230 & Gt; = (23 * 2 * 10 + X) * X - & Gt; X = 0 - & Gt; B = 23.0
{25}: 230 - 0 = 230. 230 * 100 + 25 = 23025. 23025 & Gt; = (230 * 2 * 10 + X) * X - & Gt; X = 5 - & Gt; B = 23.05
Resultado final = 23.05.
El algoritmo se ve complicado de esta manera, pero es mucho más simple si lo hace en papel usando la misma notación que usa para & Quot; división larga & Quot; has estudiado en la escuela, excepto que no haces división sino que calculas la raíz cuadrada.
Lo primero que me viene a la mente es: este es un buen lugar para usar la búsqueda binaria (inspirado en este excelente tutoriales .)
Para encontrar la raíz cuadrada de vaule, estamos buscando el number en (1..value) donde el predictor
Es cierto por primera vez. El predictor que estamos eligiendo es number * number - value > 0.00001.
double square_root_of(double value)
{
assert(value >= 1);
double lo = 1.0;
double hi = value;
while( hi - lo > 0.00001)
{
double mid = lo + (hi - lo) / 2 ;
std::cout << lo << "," << hi << "," << mid << std::endl;
if( mid * mid - value > 0.00001) //this is the predictors we are using
{
hi = mid;
} else {
lo = mid;
}
}
return lo;
}
// Fastest way I found, an (extreme) C# unrolled version of:
// http://www.hackersdelight.org/hdcodetxt/isqrt.c.txt (isqrt4)
// It's quite a lot of code, basically a binary search (the "if" statements)
// followed by an unrolled loop (the labels).
// Most important: it's fast, twice as fast as "Math.Sqrt".
// On my pc: Math.Sqrt ~35 ns, sqrt <16 ns (mean <14 ns)
private static uint sqrt(uint x)
{
uint y, z;
if (x < 1u << 16)
{
if (x < 1u << 08)
{
if (x < 1u << 04) return x < 1u << 02 ? x + 3u >> 2 : x + 15u >> 3;
else
{
if (x < 1u << 06)
{ y = 1u << 03; x -= 1u << 04; if (x >= 5u << 02) { x -= 5u << 02; y |= 1u << 02; } goto L0; }
else
{ y = 1u << 05; x -= 1u << 06; if (x >= 5u << 04) { x -= 5u << 04; y |= 1u << 04; } goto L1; }
}
}
else // slower (on my pc): .... y = 3u << 04; } goto L1; }
{
if (x < 1u << 12)
{
if (x < 1u << 10)
{ y = 1u << 07; x -= 1u << 08; if (x >= 5u << 06) { x -= 5u << 06; y |= 1u << 06; } goto L2; }
else
{ y = 1u << 09; x -= 1u << 10; if (x >= 5u << 08) { x -= 5u << 08; y |= 1u << 08; } goto L3; }
}
else
{
if (x < 1u << 14)
{ y = 1u << 11; x -= 1u << 12; if (x >= 5u << 10) { x -= 5u << 10; y |= 1u << 10; } goto L4; }
else
{ y = 1u << 13; x -= 1u << 14; if (x >= 5u << 12) { x -= 5u << 12; y |= 1u << 12; } goto L5; }
}
}
}
else
{
if (x < 1u << 24)
{
if (x < 1u << 20)
{
if (x < 1u << 18)
{ y = 1u << 15; x -= 1u << 16; if (x >= 5u << 14) { x -= 5u << 14; y |= 1u << 14; } goto L6; }
else
{ y = 1u << 17; x -= 1u << 18; if (x >= 5u << 16) { x -= 5u << 16; y |= 1u << 16; } goto L7; }
}
else
{
if (x < 1u << 22)
{ y = 1u << 19; x -= 1u << 20; if (x >= 5u << 18) { x -= 5u << 18; y |= 1u << 18; } goto L8; }
else
{ y = 1u << 21; x -= 1u << 22; if (x >= 5u << 20) { x -= 5u << 20; y |= 1u << 20; } goto L9; }
}
}
else
{
if (x < 1u << 28)
{
if (x < 1u << 26)
{ y = 1u << 23; x -= 1u << 24; if (x >= 5u << 22) { x -= 5u << 22; y |= 1u << 22; } goto La; }
else
{ y = 1u << 25; x -= 1u << 26; if (x >= 5u << 24) { x -= 5u << 24; y |= 1u << 24; } goto Lb; }
}
else
{
if (x < 1u << 30)
{ y = 1u << 27; x -= 1u << 28; if (x >= 5u << 26) { x -= 5u << 26; y |= 1u << 26; } goto Lc; }
else
{ y = 1u << 29; x -= 1u << 30; if (x >= 5u << 28) { x -= 5u << 28; y |= 1u << 28; } }
}
}
}
z = y | 1u << 26; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 26; }
Lc: z = y | 1u << 24; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 24; }
Lb: z = y | 1u << 22; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 22; }
La: z = y | 1u << 20; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 20; }
L9: z = y | 1u << 18; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 18; }
L8: z = y | 1u << 16; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 16; }
L7: z = y | 1u << 14; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 14; }
L6: z = y | 1u << 12; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 12; }
L5: z = y | 1u << 10; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 10; }
L4: z = y | 1u << 08; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 08; }
L3: z = y | 1u << 06; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 06; }
L2: z = y | 1u << 04; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 04; }
L1: z = y | 1u << 02; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 02; }
L0: return x > y ? y / 2 | 1u : y / 2;
}
usar búsqueda binaria
public class FindSqrt {
public static void main(String[] strings) {
int num = 10000;
System.out.println(sqrt(num, 0, num));
}
private static int sqrt(int num, int min, int max) {
int middle = (min + max) / 2;
int x = middle * middle;
if (x == num) {
return middle;
} else if (x < num) {
return sqrt(num, middle, max);
} else {
return sqrt(num, min, middle);
}
}
}
En general, la raíz cuadrada de un número entero (como 2, por ejemplo) puede solo ser aproximada (no por problemas con la aritmética de coma flotante, sino porque son números irracionales que no pueden ser calculado exactamente).
Por supuesto, algunas aproximaciones son mejores que otras. Quiero decir, por supuesto, que el valor 1.732 es una mejor aproximación a la raíz cuadrada de 3, que 1.7
El método utilizado por el código en ese enlace que proporcionó funciona tomando una primera aproximación y usándola para calcular una mejor aproximación.
Esto se llama Método de Newton, y puede repetir el cálculo con cada nueva aproximación hasta que sea lo suficientemente preciso para usted.
De hecho, debe haber alguna forma de decidir cuándo detener la repetición o se ejecutará para siempre.
Por lo general, se detendría cuando la diferencia entre aproximaciones sea menor que un valor que usted decida.
EDITAR: no creo que pueda haber una implementación más simple que las dos que ya encontraste.
El inverso, como su nombre lo dice, pero a veces " lo suficientemente cerca " es " lo suficientemente cerca " ;; una lectura interesante de todos modos.
de Quake3Una solución simple que puede manejar la raíz cuadrada flotante y la precisión arbitraria mediante la búsqueda binaria
codificado en rubí
include Math
def sqroot_precision num, precision
upper = num
lower = 0
middle = (upper + lower)/2.0
while true do
diff = middle**2 - num
return middle if diff.abs <= precision
if diff > 0
upper = middle
else diff < 0
lower = middle
end
middle = (upper + lower)/2.0
end
end
puts sqroot_precision 232.3, 0.0000000001
Digamos que estamos tratando de encontrar la raíz cuadrada de 2, y usted tiene una estimación de 1.5. Diremos a = 2 yx = 1.5. Para calcular una mejor estimación, dividiremos a por x. Esto da un nuevo valor y = 1.333333. Sin embargo, no podemos tomar esto como nuestra próxima estimación (¿por qué no?). Necesitamos promediarlo con la estimación previa. Entonces, nuestra próxima estimación, xx será (x + y) / 2, o 1.416666.
Double squareRoot(Double a, Double epsilon) {
Double x = 0d;
Double y = a;
Double xx = 0d;
// Make sure both x and y != 0.
while ((x != 0d || y != 0d) && y - x > epsilon) {
xx = (x + y) / 2;
if (xx * xx >= a) {
y = xx;
} else {
x = xx;
}
}
return xx;
}
Epsilon determina cuán precisa debe ser la aproximación. La función debe devolver la primera aproximación x que obtiene que satisface abs (x * x - a) & Lt; epsilon, donde abs (x) es el valor absoluto de x.
square_root(2, 1e-6)
Output: 1.4142141342163086
Bueno, ya hay bastantes respuestas, pero aquí va la mía. Es el código más simple (para mí), aquí está el algoritmo para ello.
Y código en python 2.7:
from __future__ import division
val = 81
x = 10
def sqr(data,x):
temp = x - ( (x**2 - data)/(2*x))
if temp == x:
print temp
return
else:
x = temp
return sqr(data,x)
#x =temp
#sqr(data,x)
sqr(val,x)
Para calcular la raíz cuadrada de un número con la ayuda de la función incorporada
# include"iostream.h"
# include"conio.h"
# include"math.h"
void main()
{
clrscr();
float x;
cout<<"Enter the Number";
cin>>x;
float squreroot(float);
float z=squareroot(x);
cout<<z;
float squareroot(int x)
{
float s;
s = pow(x,.5)
return(s);
}
